1. Вступ

У виробничих умовах дуже часто виникають ситуації, що можна інтерпретувати як потреби в обслуговуванні. Наприклад, при обслугуванні технологічних ліній ремонтними бригадами, при визначені показників надійності роботи устаткування, при визначені можливості підвищення продуктивності виробництва, тощо. У повсякденному житті до систем масового обслуговування належать телефонні та автозаправні станції, майстерні та ін. У таких системах є два потоки: потік замовлень та вихідний потік обслугування. Якщо інтенсивність обслугування мала, утворюється черга, яку можна скоротити, якщо використати декілька каналів обслуговування.

Системи масового обслуговування (СМО) призначені для обслуговування потоку замовлень або вимог, що надходять у випадкові моменти часу. Кожна СМО складається з деякого числа каналів обслуговування, якими, в залежності від виду системи, можуть бути технологічні лінії, лінії зв’язку, робочі точки чи агрегати, під’їздні шляхи, ремонтні бригади, тощо. Виконання замовлення, що надходить у систему, тобто її обслугування, продовжується деякий випадковий час, після чого канал звільняється і готовий прийняти наступне замовлення.

Теорія СМО вперше була розроблена датським математиком Ерлангом стосовно до запитів, що надходили на телефонну станцію. Тому основні поняття і визначення зберігаються з практики забезпечення телефонної мережі.

Замовлення, що надходять на вхід СМО утворюють неперервний потік подій. Не завжди заздалегідь можливо передбачити, коли надійде замовлення, але якщо розглядати усі замовлення, то, незважаючи на випадковий характер кожної події, будемо визначати інтенсивність потоку замовлень  як середнє число замовлень у одиницю часу. Наприклад, за 1 годину відбулося 12 замовлень, отже, в середньому, одне замовлення приходиться на інтервал у 60/12=5 хвилин. Таким чином, інтенсивність потоку  = 1/5 = 0.2.

Простіші потоки, у яких інтенсивність є постійною величиною (=const ), називаються стаціонарними.

СМО бувають двох типів:

• СМО з відмовами, у яких замовлення, що надійшло у той момент, коли усі канали зайняті, отримує відмову і не обслуговується;

• СМО з очікуванням, у яких кожне замовлення, що надійшло у систему, коли немає вільних каналів, залишається у черзі і очікує, поки звільниться якийсь канал і візьме її на обслугування.

Порядок обслугування черги не обов’язково підпорядкований принципу: першим прийшов – першим обслуговується, у виробничих умовах часто буває навпаки: в першу чергу обслуговуються деталі, що надійшли останніми, оскільки саме вони лежать у бункері зверху. Деколи замовлення обслуговуються у випадковому порядку.

2. Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом

Для того, щоб зрозуміти, як роз’язуються задачі управління виробництвом з використанням ТМО, розглянемо її основи за допомогою прикладів.

2.1. Системи масового обслуговування з відмовами

Нехай виробнича система складається з двох пристроїв, які виробляють одну і ту ж продукцію. Пристрої в ході роботи можуть виходити з ладу (відмовляти). Пристрій, що відмовляє, відразу починає ремонтуватись. Така система має чотири стани:

• Стан S1 - обидва пристрої працюють;

• Стан S2 - перший пристрій ремонтується (після відмови), другий працює;

• Стан S3 - другий пристрій ремонтується, перший працює;

• Стан S4 - обидва пристрої ремонтуються.

Позначимо 1 – інтенсивність потоку відмов першого пристрою; 2 – інтенсивність потоку відмов другого пристрою. 1 – інтенсивність потоку закінчень ремонтів першого пристрою; 2 – інтенсивність потоку закінчень ремонтів другого пристрою.

Граф станів такої виробничої системи наведений на рис.1.





S1

S3

S2

S4

   





Рис.1. Граф станів виробничої системи

Переходи S1S2; S1S3; S2S4; S3S4 здійснюються в результаті відмов у системі. Зворотні переходи є наслідком ремонтних робіт. Відмови і закінчення ремонтів – випадкові величини.

Нехай мається N однакових систем, які описуються наведеним графом станів (N>>1). Число систем, що знаходиться у стані Si, дорівнює Np_i , де p_i – ймовірність перебування системи у стані Si (це твердження тим точніше, чим більше N). Розглянемо конкретний стан, наприклад, S1. З цього стану можливі переходи у стани S2 і S3 – з сумарною ймовірністю 1+2, що віднесена до одиниці часу. У стаціонарному режимі інтенсивність потоку дорівнює ймовірності за кінцевий проміжок часу, поділений на цей проміжок часу.

Розглянемо виходи із стану S1. Враховуючи вищенаведене, число виходів із стану S1 за одиницю часу у колективі систем, що розгядаються, дорівнює:

N*p₁ (1+2).

Загальне правило: число переходів із стану і у стан j (SiSj), що здійснюється за одиницю часу дорівнює добутку кількості систем у стані Si помножене на ймовірність переходу, за одиницю часу.

Входи у стан S1 ( рис. 1) здійснюються із станів S2 і S3. Число входів у S1 за одиницю часу становить N*p₂ + N*p₃. Оскільки розглядається стаціонарний процес, то числа виходів і входів для кожного із станів мають бути збалансованими. Отже для стану S1 маємо рівняння балансу:

Np₁(1+2)=Np₂1+N*p₃2. (1.1)

Розглянемо баланс входів і виходів для кожного стану і, скорочуючи у рівняннях загальний множник N, отримуємо такі рівняння відносно ймовірностей p1, p2, p3, p4.

Для стану S1:

p₁(1+2)=p₂1+p₃2 (1.2)

Для стану S2:

p₂(1+1) = p₁ 1 + p₄ 2 (1.3)

Для стану S3:

p₃(1+2) = p₁ 2 + p₄ 1 (1.4)

Для стану S4:

p₄(1+2) = p₂ 2 + p₃ 1 (1.5)

Неважко переконатися, що четверте рівняння може бути отримано як сума перших трьох. Замість цього рівняння скористаємося рівнянням р₁+р₂+р₃+р₄ = 1, що означає, що система з достовірністю знаходиться в будь-якому з чотирьох станів. Таким чином, приходимо до системи рівнянь:

p₁(1+2) = p₂ 1 + p₃ 2

p₂(1+1)=p₁1+p₄2 (1.6)

p₃(1+2) = p₁ 2 + p₄ 1

р₁+р₂+р₃+р₄ = 1

Система (1.6) називається системою рівнянь Колмогорова. Вона дозволяє обчислювати ймовірності знаходження системи у кожному з визначених станів. В теорії потоків, коли швидкість переходу з одного стану в інший є великою, процес функціонування системи описується рівняннями Колмогорова.

Розглянемо систему масового обслугування з відмовами.

Найпростіший приклад системи масового обслуговування з відмовами є автоматична телефонна станція. Якщо абонент, що викликається, зайнятий, даються короткі гудки, очікування безглузде. В залежності від ступеня необхідності обслугування, замовлення або залишають систему, або повертаються повторно.