Завдання 3

Частина устаткування виробничої дільниці з часом виходить з ладу і ремонтується. Відмови устаткування, як і терміни ремонту – випадкові величини. Коли ремонтна бригада вільна, вона відразу приймається за роботу, а коли ремонтники зайняті, устаткування чекає своєї черги. Доки устаткування знаходиться в ремонті, або очікує ремонту, випуску продукції на ньому не відбувається і загальне виробництво зменшується. Необхідно визначити, яка середня продуктивність ділянки у даних умовах і які міри потрібні для її підвищення. Отже, потрібно знайти оптимальне співвідношення витрат, що пов’язані з очікуванням ремонту, і витратами на збільшення ремонтних бригад.

Рішення.

Аналітично відомі інтенсивність потоку відмов устаткування  і інтенсивність потоку обслугування  за зміну. Відомі також втрати в одиницю часу: від простою устаткування – n умовних одиниць, на утримання однієї бригади - m умовних одиниць.

Менеджерів, які організують виробничий процес, цікавить середній час очікування обслугування і середній час обслугування при різній кількості ремонтних бригад s. Також важливо знайти оптимальну кількість ремонтних бригад з урахуванням витрат у одиницю часу на простої і на утримання бригади.

1. Розрахуємо показники роботи СМО з одним каналом обслуговування.

При роботі однієї бригади дану задачу можна представити у вигляді одноканальної системи обслугування з необмеженною чергою.

 =  / .

При  > 1 черга росте необмежено.

При  < 1 маємо такі показники.

Ймовірність відсутності черги:

p₀ = 1 - .

Ймовірність черги з k замовлень:

p_k+1 = ^k+1 ( 1 -  ) або p_k+1 = ^k+1 p₀.

Середній час очікування в системі:

За результатами розрахунків:

2. Розрахуємо показники СМО для s ремонтних бригад та приймемо рішення про їх оптимальну кількість з урахуванням витрат на простої – n грн в одиницю часу і на утримання бригади – m грн в одиницю часу).

Якщо працює s бригад задачу можна описати як багатоканальну систему з необмеженою чергою.

Значення  / s може бути більше за 1.

Якщо  / s  1, тоді черга зростає до нескінченності.

Якщо  / s < 1, то існують фінальні ймовірності.

Ймовірність відсутністі черги:

Середня кількість устаткування у черзі:

Cередня кількість устаткування в системі обслуговування W_s=W_q+1/. Домножимо ліву і праву частину рівняння на , отримуємо:

L_s = L_q + .

Середній час перебування устаткування у черзі:

W_q = L_q / .

Середній час перебування устаткування в системі:

W_s =( 1 / ) L_s.

Припустимо, що витрати в одиницю часу на простой складають 7 умовних одиниць, і на утримання однієї бригади - 5 умовних одиниць. Тоді отримуємо такі результати при різній кількості бригад (припустимо, що  = 1.6,  = 0.9,  = 1.77 ).

Аналіз результатів. За результатами розрахунків бачимо, що при s = 2: W_s = 17.43, загальні витрати V=717.43 + 52 = =131.99 у.о.

При s = 3: W_s = 1.5, загальні витрати V=71.5 + 53=25.54 у.о.

При s = 4: W_s = 1.18, загальні витрати V=71.18+54=28.24у.о.

Бачимо, що з економічної точки зору вигідно тримати три ремонтні бригади.