Розв’язання

Дану задачу можливо описати n-канальною системою з відмовами. Граф станів такої системи наведений на рис.6.

Стани системи:

S0 – усі канали вільні;

S1 – зайнятий один канал, інші вільні;

S2 – зайняти два канали, інші вільні;

…

Sn – Зайняти усі n каналів.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

p_0* = p_{1 *}

p_1*(+) = p₀  + 2*p₂ *

p_2*(+2) = p₁  + 3* p₃ *

… … …

p_k*(+k*) = p _k-1  + (k+1) * p_k+1 *

… … …

p_n-1*(+(n-1) *) = p_{n-2 *} + n * p_n *

р₀ + р₁ + р₂ +…+ р_n = 1

Розв’яжемо цю систему рівнянь, отримуємо р_{0 ,} р₁ , р₂ ,…, р_n.

За умовами задачі  = 1.5, =0.5. Отже,  /  = 3.4.

Імовірність обслугування замовлення, що надходить, для n каналів визначається за формулою:

Q = 1 – p_n = 1 – p₀ * ( / )ⁿ/n!

Де

p₀ = (1+ /  +( / )² / 2! + ( / )³ / 3! + … + ( / )ⁿ / n! )^-1,

p_k = p₀ * ( / )^k / k!, (k = 1,2,3,…,n).

Середня кількість зайнятих каналів:

N = p₀ * ( / )(1 – ( / )ⁿ / n!)

Розрахунки у програмі Mathcad дозволяють побачити, що для двох каналів ( n = 2) отримуємо:

• імовірність обслугування замовлення Q = 0.43, що складає 43%;

• при цьму середня кількість зайнятих каналів N = 1.47, що складає 73,5% від всіх трьох каналів;

• відповідно 26,5% замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

Збільшимо кількість каналів обслугування до 3. Отримуємо:

• імовірність обслугування замовлення Q = 0.6, що складає 60%;

• при цьму середня кількість зайнятих каналів N = 2.07, що складає 68,9% від всіх трьох каналів;

• відповідно 31,1% замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

У випадку з 4 каналами Q = 75%, відсоток зайнятих каналів – 63,7%,

у випадку з 5 каналами Q = 85,5%, відсоток зайнятих каналів – 58,1%,

у випадку з 6 каналами Q = 92,4%, відсоток зайнятих каналів – 52,6%.

Підведемо підсумки.

При збільшенні каналів з 2 до 3:

• кількість зайнятих каналів знижується на 4,2%;

• імовірність обслугування зростає на 17%.

При збільшенні каналів з 3 до 4:

• кількість зайнятих каналів знижується на 5,2%;

• імовірність обслугування зростає на 15%.

При збільшенні каналів з 4 до 5:

• кількість зайнятих каналів знижується на 5,6%;

• імовірність обслугування зростає на 10%.

При збільшенні каналів з 5 до 6:

• кількість зайнятих каналів знижується на 5,8%;

• імовірність обслугування зростає на 6,9%.

Аналіз результатів. За результатами розрахунків, ми бачимо в динаміці, що збільшення каналів з 2 до 3 є оптимальним, оскільки при мінімальному зменшенні числа зайнятих каналів спостерігається максимальний приріст імовірності обслугування. Подальше збільшення каналів невигідно із-за їх простоїв.

6. Приклад виконання лабораторної роботи №2 Завдання 1

На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин. Якщо всі місця на площадці очікування зайняті, то наступній машині, що прибула на підприємство, немає місця для очікування. Аналітично було з’ясовано, що на підприємство в середньому за хвилину прибуває потік машин інтенсивністю , а потік обслугування з інтенсивністю  визначається тривалістю розвантаження.

Менеджера цікавить ймовірність відмови в обслуговуванні і середній час очікування в залежності від місць m.