2.2. Системи масового обслугування з очікуванням.

Розглянемо СМО з одним каналом, на вхід якого надходять замовлення з інтенсивністю . Замовлення, що надішло у момент, коли канал зайнятий, стає у чергу і очікує. Граф станів такої системи наведений на рис 7.

   

S0

S1

S2

Sk

   

Рис.7. Граф системи масового обслугування з очікуванням.

Стан S0 відповідає вільному каналу; S1 - канал зайнятий і черги немає; S2 - канал зайнятий і одне замовлення знаходиться у черзі; S3 – у черзі два замовлення і т.д. У стані Sk - канал зайнятий і у черзі к-1 замовлення. За стрілками зліва направо систему з одного стану в інший переводить потік замовлень з інтенсивністю , а за стрілками справа наліво - потік обслуговувань, що має інтенсивність . Кожного разу при переході з одного стану в інший черга змінюється на одиницю.

Для визначення ймовірності початкового стану можна використати рівняння (1.12):

р₀ = р₁.

Звідси

р₁=(/)p₀.

Величину =/ (1.22) називають інтенсивністю навантаження СМО.

Для стійкої роботи СМО з очікуванням необхідно, щоб середня інтенсивність потоку обслугування була більше інтенсивності потоку замовлень, тобто  < , отже  < 1. Якщо  > , система не впорається з обслуговуванням і черга буде зростати до нескінченності.

Використовуючи введені позначення та формули (1.12),(1.22), ймовірність стану S1 можна записати у вигляді:

р₁=p₀ (1.23)

Щоб отримати ймовірності p₂ i p₃,…,p_k можна використати отримані раніше вирази для стану S1:

p₁+p₁=p₀+p₂

Оскільки p₀=p₁ та p₂=p₁

Отже p₂=p₁ = ² p₀.

Аналогічно для стану S2: p₃ = ³ p₀ . І.т.д.

p_k=^kp₀. (1.24) Для визначення р₀ запишемо вираз для суми ймовірностей:

p₀ +  p₀ + ² p₀ +…+ ^k p₀ = 1.

Ліва частина останнього виразу є сумою членів геометричної прогресії, тому вона дорівнює 1/(1- ). Тому p₀ = 1 - , звідси отримуємо

p_k=^k(1-) (1.25)

Використовуючи цей вираз, можна визначити характеристики СМО з очікуванням, важливі для її функціонування: середню довжину черги Lq, середнє число замовлень в системі Ls, середній час перебування замовлення в системі Ws, середня тривалість очікування замовлення у черзі Wq і імовірність утворення черги р_к.

З ймовірністю p₂ у черзі знаходиться одне замовлення, з ймовірністю p₃ – два замовлення , і з імовірністю p_k у черзі – (k-1) замовлення.

Отже,

Lq=1 p₂ +2 p₃ +…+(k-1)p_k=²(1-)(1+2+3²+…+k^k-1).

Cума геометричної прогресії 1+2+3²+…+k^k-1=

=1/(1-)².