Тому середня довжина черги:
(1.26)
Середня кількість замовлень, що знаходиться у системі обслугування - Ls , складається з середньої кількості замовлень у черзі та середньої кількості замовлень на обслуговуванні (включаючи інтервали, коли черги не було).
Ls=0p0+1p1+2p2+…+ kpk
Ця величина приймає значення 0, коли канал вільний, імовірність такого стану дорівнює p0 = 1 - .
Якщо канал зайнятий і одне замовлення обслуговуються Ls = 1, ймовірність такої події: p1=1 – p0 = .
Отже,
(1.27)
Середній час очікування у черзі дорівнює середньому числу замовлень у черзі, поділеному на інтенсивність потоку обслуговування.
або
(1.28)
Імовірність утворення черги дорівнює імовірності того, що у системі буде більше однієї вимоги, тобто:
Pk=1–p0–p1=1–(1-)-(1 - ) = 2 (1.29)
Середній
час перебування замовлення у черзі
або
(1.30)
3. Практичне застосування теорії масового обслуговування.
Приклад 1.
Виробнича система, що складається з двох пристроїв, випускає деяку продукцію. Граф станів такої системи наведений на рис 1. Другий пристрій у даній системі більш сучасний і має продуктивність вдвічі більшу, ніж перший. Перший пристрій приностить прибуток за одиницю часу 50 грн, а другий – 100. Відмови другого пристрою відбуваються у середньому вдвічі частіше, ніж першого, тому 1=1, 2=2. Інтенсивності потоків закінчень ремонтів: 1=2, 2=3. Нехай передбачена деяка раціоналізація, яку можна застосувати тільки до одного з пристроїв. Це дозволяє вдвічи скоротити час ремонту або першого, або другого пристрою. Це конкретний приклад практичної ситуації, коли, користуючись теорію масового обслугування, потрібно прийняти рішення який з пристроїв обрати.
Розв’язання.
Використовуючи задані інтенсивності відмов пристроїв і потоків закінчень ремонтів, запишемо рівняння Колмогорова у вигляді:
3*р1 = 2*р2+3*р3
4*р2=р1+3*р4
4*р3=2*р1+2*р4
р1+р2+р3+р4 = 1
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо р1=0.4; р2=0.2; р3=0.27; р4=0.13. Це означає, що в середньому 40% часу обидва пристрої працюють одночасно (стан S1), 20% часу працює тільки перший пристрій, а другий при цьому ремонтується (стан S2), 27 % часу працює тільки другий пристрій, а перший при цьому ремонтується (стан S3), 13% часу обидва пристрої одночасно знаходяться у стані ремонту (стан S4). Неважко підрахувати прибуток, який дає система з двох пристроїв у одиницю часу: (50+100)*0.4+50*0.2+100*0.27= 97 грн.
Припустимо, обирається перший пристрій. В результаті раціоналізації інтенсивність потоку закінчень ремонтів цього пристрою збільшується вдвічі, отже, 1=4, а інші інтенсивності залишаються такими ж: 1=1, 2=2, 2=3. Система рівнянь Колмогорова приймає вигляд:
3*р1 = 4*р2+3*р3
6*р2=р1+3*р4
4*р3=2*р1+4*р4
р1+р2+р3+р4 = 1
Розв’язуючи цю систему, знаходимо р1=0.48; р2=0.12; р3=0.32; р4=0.08.
Прибуток: (50+100)*0.48+50*0.12+100*0.32 = 110 грн.
Якщо ж обрати для раціоналізації другий пристрій, збільшується вдвічи інтенсивність потоку ремонтів другого пристрою 2=6; 1=1, 2=2, 1=2. Рівняння Колмогорова:
3*р1 = 4*р2+6*р3
6*р2=р1+6*р4
7*р3=2*р1+2*р4
р1+р2+р3+р4 = 1.
Розв’язуємо цю систему: р1=0.5; р2=0.25; р3=0.17; р4=0.08.
Добуток: (50+100)*0.5+50*0.25+100*0.17 = 104.5 грн.
Таким чином, слід застосувати раціоналізацію до першого пристрою.
Приклад 2. Деяка ділянка випускає за одну годину 90 виробів, тобто інтенсивність потоку = 1.5 виробів в хвилину. На цій ділянці працює контрольний прилад, який вибірково перевіряє виготовлені вироби, середня тривалість контрольних операцій s = 1.25 хв. Якщо в момент надходження чергового виробу контрольний прилад зайнятий, то цей вироб відразу передається на подальші операції без проміжного контролю. Виробництво неперервне і продовжується до знаходження дефекту в одному з виробів. У цьому випадку виробничий процес зупиняється і з’ясовуються причини браку.
Необхідно визначити, яка частина випускаємої продукції в таких умовах підлягає контролю і яка частина пропускається на подальші операції без контролю (тобто, яка частина отримує відмову від проходження контрольних операцій).
Розв’язання.
Визначимо параметр потоку обслугування: = 1 / 1.25 = 0.8. Відносна пропускна здатність знаходиться за формулою (1.9) q = 0.8 / (1.5 + 0.8) = 0.348. Таким чином, контрольним операціям підлягають менше ніж 35% продукції. Абсолютна пропускна здатність А = 1.5 * 0.348 = 0.52. Імовірність відмови в обслуговуванні, тобто пропуску на подальшу обробку без контролю, дорівнює Рвідм=(1 - 0.35) = 0.65.
Слід зазначити, що якщо контролю використовуємо більш продуктивне устаткування, яке дозволяє знизити тривалість контролю вдвічи, отже, збільшити продуктивність праці контрольного пристрою і таким чином знизити тривалість контрольних операцій, то пропускна спроможність системи підвищеться, але не вдвічи, як може здаватися на перший погляд. Припустимо, що ми у два рази збільшуємо інтенсивність потоку обслугування, тобто = 1.6, а інтенсивність потоку замовлень залишається незмінною. Тоді отримуємо:
q = 1.6 / (1.5 + 1.6) = 0.516.
Отже, контролюватися буде біля 52% всіх виробів.
Приклад 3.
Провести розрахунки за даними прикладу 2, за умовою, що на виробництві встановлюється два контрольних прилади, які мають однакову інтенсивність обслуговування = 0.8.
Розв’язання.
Розглянемо двоканальну систему масового обслуговування (рис.4), у якій = 1.5. Отримуємо q=р0=62%. Таким чином, можна зробити висновок, що продуктивність двох контрольних приладів більша, ніж одного, який працює вдвічі швидше.
Приклад 4. Провести розрахунки за даними прикладу 2, за умовою, що на виробництві встановлюється три контрольних прилади.
Розв’язання.
Для трьохканальної системи за формулою (1.19) отримуємо q = 81%.
Підрахуємо середнє число зайнятих каналів: Kсер = 1.52. За результатом бачимо, що роботи не вистачає для завантаження навіть двох контрольних пристроїв, але й усі три не забезпечують 100% перевірку всієї випущеної продукції. Причина цього положення криється у випадковому характері надходження виробів на контроль.
Можна перевірити, що буде, якщо збільшити число контрольних приладів. Хоча, мабуть, очевидно, що такі дії не будуть ефективними.
Наприклад, у виробничий системі з чотирма контрольними приладамиі при тих самих інтенсивностях потоків, отримуємо q = 92%, а середнє число зайнятих каналів
Kсер = 1.75
Тепер зрозуміло, що збільшуючи число контрольних приладів, не можна досягнути 100% перевірки усієї продукції. Отже, необхідно змінити саму систему обслуговування, перейти до СМО з очікуванням.
Приклад 5.
Розглянемо систему контролю продукції, у якій контрольний прилад буде перевіряти всю продукцію. Якщо продукція надходить, коли контрольний прилад зайнятий, вона очікує, поки він звільниться. = 1.5, = 0.8. Проведемо розрахунки щодо інтенсивності навантаження та середньої довжини черги модернізованої системи контролю, коли пропускна спроможність контрольного приладу збільшується вдвічи.
Розв’язання.
Інтенсивність навантаження за формулою (1.22) становить:
Отже, даний режим контролю неможливий, оскільки черга буде інтенсивно і неперервно зростати.
Якщо модернізувати контрольне устаткування і підвищити пропускну спроможність устаткування вдвічи: = 1.6:
= 1.5 /1.6 = 0.9375 < 1.
Оскільки у системі будуть перевірятися усі 100% виробів, тому параметри відносної та абсолютної пропускної здібності втрачають зміст.
Середня довжина черги (середня кількість виробів, що очікують поки контролер звільниться) розраховується за формулою (1.26):
Середня кількість виробів, що знаходяться у системі за формулою (1.27):
Середній округлений час очікування у системі контролю визначається за формулою (1.28):
Час очікування знаходиться у допустимих границях, і модернізовану систему технічного контролю з очікуванням можна вважати такою, що забезпечує 100% перевірку усіх виробів. Ймовірність створення черги при заданих інтенсивностях потоку виробів і продуктивності контролю визначається за формулою (1.29) pk = 0.88.
Приклад 6. У цеху мається один пристрій, яким за необхідністю користуються усі ланки. Продуктивність пристрою досить велика і може задовільнити обслугування всіх ланок, але із-за випадкового характеру виникнення потреб, у деякі моменти пристрій зайнятий і накопичується черга. Необхідно знати середній час очікування і на скільки може знижуватись продуктивність цеху, якщо утворюється черга.
Розв’язання.
При роботі одного верстату дану задачу можна представити у вигляді одноканальної системи обслуговування з необмеженною чергою.
= / .
При > 1 черга росте необмежено.
При < 1 маємо такі показники.
Ймовірність відсутності черги:
p0 = 1 - .
Ймовірність черги з k замовлень:
pk+1 = k+1 ( 1 - ) або pk+1 = k+1 p0.
Середній час очікування в системі дорівнює часу очікування у черзі додати час обслуговування. Оскільки середня швидкість обслуговування дорівнює , тоді середня тривалість обслуговування дорівнює 1, отже
Середній час очікування обслугування:
Cередній час обслугування:
Середня кількість замовлень у черзі:
Cередня кількість замовлень в системі (з урахуванням обслугування замовлень):
Ls = Lq + .
Середній час перебування замовлення у черзі:
Wq = ( 1 / ) Lq.
Середній час перебування замовлення в системі:
Ws = ( 1 / ) Ls.
Якщо відомі втрати від простою в одиницю часу С, то загальні втрати від простою становлять С Ws .