Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

§

4)

СХЕМА

ИССЛЕДОВАНИЯ

ФУНКЦИИ

153

Знаки		производной	f' (х)	при	переходе	через
		критическую		точку х,
х <	х,	J	.'С= Х1		х > х,
					1
+		f'	{xi)=0			-
		или	разрывна

Характер критнческоА точки

Точка максимума

-

+ -

f' (х1) =0
или	разрывна
f'	(х1) =0
или	разрывна
f'	{Х1) =0
или	разрывна

+ +

-

Точка

минимума

Нет ни	максимума, ни мини-
мума	(функция возрастает)
Нет ни	максимума, ни мини-
мума	(функция убывает)

П

р

им

е

р

1.

Исследовать на	максимум и минимум
хз		+зх+1.
у=т-2х
	2

функцию

Реше

и и

е.

1)

Находим

первую

производную,

у' =х	-4х+з.
2

2)

Находим

действительные

корни

производной;

х

2

-4х+3=0.

Следовательно,

Х1=

(,

х

2

=3.

Произвqдная		всюду		непрерывна.	Значит,
3)	Исследуем		критические значения

и

других критических точек

результаты исследования

нет. фиксиру•

ем

ТО

на рис. 107. Исследуем

первую

критическую

точку

ч

=

1.

Так

как

у'=

(х-1)

(х-3),

при при

х х

< >

1 1

имеем имеем

у'=(-Н-) у'= (+)-{-)

> <

О; О,

Значит, меняеr знак

при		переходе (слева		направо) через значение х1 = 1 производн~я
с	плюса		на минус. Следовательно, прн х= 1 функция имеет мак­

симум,

а

именно:

Ylx=l=7/3.

Исследуем

вторую

критическую		точку
при	х < 3	имеем
при	х > 3	имеем

х2=3:

у'=(+)-(-)< О;

у'= (+ Н+) > О,

154

ИССЛЕДОВАНИЕ

ПОВЕДЕНИЯ

ФУНIЩИй

(ГЛ.

V

с

Значит,	при	переходе	через	значение	х=З	производная меняет знак
минуса на	плюс. Следовательно,			при х =3	функция	имеет минимум, а именно:

		Уlх=З=1.
На основании	проведенного исследования			строим график функции
Пр им ер 2,	Исследовать на максимум				и	минимум функцию
			-		2•
	1) Находим	y=(x-l) Vх
Решение.		первую	производную:
	'-VJ-+ 2(x-l)			-		5x	-Z·	•
	у -	х2	v-			з	,-
		3	х			Зj/х

(рис.

107).

2) Находим	критические	значения	аргумента: а)			находим			точки,	в	кото•
		рых производная обращается					в		ну.'lь:
!/			у	=	3 v;	= 0,	Х1	=5 ;
				,	5х-2				2

б)

находим

точки,

в

которых

производная

тер­

пит

разрыв

(в

данном

со11учае

обращается

в

!/

,.

!f={x-1)

1"/ii1

Рис.

107.

Рис.

108.

бесконечность),

Такой

точкой

будет, очевидно, Х2=О.

точка

{Отметим,

что

при

х

2

=0

рассматриваемая

функция

опредмена

и

непрерывна.)

Других критических точек нет.
3) Исследуем характеJ?	полученных

критических

точек.

Исследуем

точку

Xi=2/5.

Заметив,

что

у'

1х<2/5

<

О;

у'

1х>2/5

>

О,

ваключаем,

что

при

х

=

2/5

функция

имеет

минумум.

Значение

функции

в

точке

минимума

равно у

rх=2/5

= ( : -

1)

V

~

= -

:

V

:5

.

Исследуем		вторую		критическую	точку х = О.		Заl\fетив,	что
				у' 1х< о > о.		у' 1х> о	< о,
заключаем,	что	при х	= О функция имеет			максимум, причем у/ х == 0			= О.
исСJiедуемой	функции			изображен на	рис.	108.

График