Министерство образования и науки Российской Федерации
Костромской государственный технологический университет
И.В. Землякова, О.Б. Садовская, А.В. Чередникова
Математическая статистика теория и практика
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия для студентов специальностей
220301, 230104, 230201 Очной формы обучения
Кострома
Издательство
2010
§1. Задачи математической статистики
Математические законы теории вероятностей не являются абстрактными, лишёнными физического содержания, они представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, существующих в массовых случайных явлениях.
Каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами теории вероятностей, опирается на экспериментальные данные.
Зарождение математической статистики было связано со сбором данных и графическим представлением полученных результатов (сводки рождаемости, бракосочетаний и т.д.). Это описательная статистика. Нужно было свести обширный материал к небольшому числу величин. Разработка методов сбора (регистрации), описания и анализа экспериментальных (статистических) данных, получаемых в результате наблюдения массовых, случайных явлений, составляет предмет математической статистики.
При этом можно выделить три этапа:
сбор данных;
обработка данных;
статистические выводы-прогнозы и решения.
Типичные задачи математической статистики:
определение закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным;
проверка правдоподобия гипотез;
нахождение неизвестных параметров распределения.
Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
§2. Генеральная и выборочная совокупность. Репрезентативность выборки. Способы отбора (способы организации выборки)
Массовые случайные явления могут быть представлены в виде тех или иных статистических совокупностей однородных объектов. Каждая статистическая совокупность обладает различными признаками.
Различают качественные и количественные признаки. Количественные признаки могут изменяться непрерывно или дискретно.
Пример 1. Рассмотрим производственный процесс (массовое случайное явление) изготовления партии деталей (статистическая совокупность).
Стандартность детали – качественный признак. Размер детали – количественный признак, изменяющийся непрерывно.
Пусть требуется изучить статистическую совокупность однородных объектов относительно некоторого признака. Сплошное обследование, т. е. исследование каждого из объектов статистической совокупности на практике применяется редко. Если исследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование нет смысла. Если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование практически невозможно. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и исследуют их.
Определение. Генеральной совокупностью называется вся подлежащая изучению совокупность.
Определение. Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.
Определение. Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Объём генеральной совокупности обозначается через N, а выборки через n.
На практике обычно применяют бесповторную выборку, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность (иначе получаем повторную выборку).
Для того чтобы по данным выборки можно было судить о всей генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Для этого каждый объект должен быть отобран случайно, и все объекты должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку. применяются различные способы отбора (рис. 1).
Способы
отбора
(способы
организации выборки)
Двухступенчатый
(генеральная
совокупность разделена
на
группы)
Одноступенчатый
(генеральная
совокупность не делится
на
группы)
Простой
случайный
(объекты
извлекаются случайно
из
всей совокупности)
Типический
(объект
выбирается из каждой типической части)
Комбинированный
(из
общего числа групп отбирают несколько
и из них по несколько объектов)
Простая
случайная повторная выборка
Простая
случайная
бесповторная выборка
Механический
(из
каждой группы
выбирают
по одному объекту)
Серийный
(из
общего числа групп – серий отбирают
несколько
и
их сплошь исследуют)
Рис.
1. Способы отбора
Пример 2. На заводе 150 станков производят одинаковые изделия.
1. Изделия со всех 150 станков перемешивают и случайно отбирают несколько изделий – простая случайная выборка.
2. Изделия с каждого станка располагаются отдельно.
Со всех 150 станков отбирают по несколько изделий, причём анализируют отдельно изделия с более изношенных и менее изношенных станков – типическая выборка.
С каждого из 150 станков по одному изделию – механическая выборка.
Из 150 станков отбирают несколько (например, 15 станков), и все изделия с этих станков исследуют – серийная выборка.
Из 150 станков выбирают несколько, а затем по несколько изделий с этих станков – комбинированная выборка.