- •Математическая статистика теория и практика
- •220301, 230104, 230201 Очной формы обучения
- •Издательство
- •§1. Задачи математической статистики
- •§2. Генеральная и выборочная совокупность. Репрезентативность выборки. Способы отбора (способы организации выборки)
- •§3. Статистическое распределение выборки. Графическое представление распределений
- •Эмпирическая функция распределения
- •§4. Статистические оценки параметров распределения
- •§5. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней
- •§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии
- •§8. Доверительная вероятность. Доверительный интервал
- •Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •§ 10. Понятие о корреляционном и регрессивном анализе
§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии
Определение. Генеральной дисперсией DГ называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .
Если различны, то , где N – объём выборки.
Если имеют частоты , то .
Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .
Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если различны, то .
Если имеют частоты , то .
Замечание. При решении практических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:
(3)
Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением называют .
Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной DГ.
Если в качестве оценки для DГ взять DВ, то эта оценка является смещённой, а именно
(без доказательства). (4)
Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).
Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив её на .
Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется
. (5)
Значит,
, или ,
где – несмещённая оценка генеральной дисперсии DГ.
Действительно,
Можно доказать, что – состоятельная оценка DГ, а значит также состоятельная оценка DГ (т.к. множитель при ).
Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл.
Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещённой оценкой Г.
Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
Рассмотренные оценки являются точечными.
Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещённую и исправленную оценку для дисперсии.
xi |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
ni |
10 |
20 |
40 |
20 |
10 |
Решение. Предварительно найдем для каждой варианты соответствующую относительную частоту и результаты внесем в таблицу. Объём выборки n = 100.
xi |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
ni |
10 |
20 |
40 |
20 |
10 |
wi |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Найдем смещённую оценку генеральной дисперсии – воспользуемся формулой (3): .
Выборочную среднюю найдем по формуле (2): . Отсюда, .
Несмещённую оценку генеральной дисперсии найдем по формуле (5): .