33.Числовые характеристики случайных величин и процессов. Одномерные моментные функции.
При
расчетах и анализе часто пользуются
числовыми характ-ми случ. величин. Все
эти числовые характ-ки с помощью мат.
ожидания.Мат. ожидание
:
-
среднее значение.
-
момент первого порядка распределения
случайной величины x.
Есть
некоторая детерминированная функция
от случайной величины.
.Для
них мат. ожидание:
,отсюда
правило нахождения случайной
характеристики:
- начальный момент (
-го
порядка).
Связь
между числовыми характеристиками и
видом определяется центрированной
случайной величиной, которая получается
смещением по оси
.
-
центрированная случайная величина.
Случайная
величина называется центрированной,
если ее среднее значение равно нулю.
Моменты
для центрированной случайной величины
называются центральными моментами.
Найдем I центральный момент:
-
мера рассеивания случайной величины
от среднего значения – дисперсия
случайной величины.
-
дисперсия – средняя мощность.
-
среднеквадратическое отклонение –
эффективное значение
используется в роли меры ширины
дифференциального закона распределения.Моменты
– это детерминированные величины.
34.Характеристическая функция одномерного распределения.
Есть
случайная величина
,
характеристическая функция - это
математическое ожидание от детерминированной
функции вида:
однозначно
связано с
.Поэтому
можно указать обратный интеграл:
.Основные
свойства
вытекают
из свойств преобразования Фурье:
1)
2)
3)
Если
- четная функция, то
- вещественная функция.
4)
.Если
принять
,
получим
.
5) Определяет нахождение .
Пример:
Дифференциальный
закон распределения
Если
,
то получим:
.Заметим,
что в этом случае
.
Т.к.
становится четной функциях, получается
центрированная случайная величина.
35.Двумерные и многомерные характеристики случайных величин и процессов.
Более
полной характеристикой случайных
процессов является двумерная
,
отображающая вероятностную связь между
значениями случайной функции в два
произвольные момента времени
.Рассмотрим
ансамбль реализаций случайного процесса.
З
афиксируем
и
.
- будет указывать на связь между случайными
моментами
и
.Получим
совокупность выборок
и
.Между
ними существует некоторая статистическая
связь.Их можно рассматривать как
плоскость случайных величин
и
и рассмотреть вероятность попадания
с.в.
в интервал
и
(вероятность попадания вектора в
элементарную площадку
)
С
войства
двумерных
подобны
:
Чем
больше
,
тем более детально можно описать свойства
случайного процесса.
Свойства
:
1)
2)Условие
нормировки:
3)Условие согласованности:(используется
для нахождения
более низкого порядка по
)
4)Интегральная функция распределения (ИФР):
;
- аналогично.
5)
36. Корреляционные моменты.
Корреляция
– степень связи;
как и
можно
описывать частными числовыми
характеристиками (дают понятие о
статистических свойствах этих
).Смешанный
начальный момент (между двумя процессами).
;
- выборки одного или двух случайных
процессов.
Наиболее
употребительным является мат. ожидание
двух центрированных величин:
-
корреляционный момент (ковариация).
Если
- выборки двух различных процессов, то
- взаимная ковариация.Особенности
ковариации:
если
один случайный процесс и выборки
близки по времени, о обычно
и
,
т.е. если
,
то получается некоторый максимум
ковариации.По мере уменьшения разности
произведений
выборок из ансамбля реализаций случайного
процесса получим:
-
дисперсия.Скорость изменения сигнала
ограничена, так как спектр конечен.Любые
изменения энергии требуют времени. Если
реализация случайного процесса не
содержит детерминир. или квазидетерм.,
то это чисто случайный процесс.
.С
увеличением
получаются пара значений с различными
знаками, и
уменьшается, т.е.
.Если
и
сильно отличаются друг от друга, то
степень связи между отсчетами снижается
;
- зависит не только от
и
,
но и от интенсивности случайных величин.
Поэтому вводят коэффициент корреляции:
;
- эффективные значения случайных
процессов.
Таким
образом, если
выборки
,
то
.