39. Энергетический спектр стационарного случайного процесса.
Один из эффективных средств анализа сигналов является спектральный метод.
Для
изучения случайных процессов также
желательно использовать спектральный
метод.Если взять
-ю
реализацию случайного процесса
на отрезке времени Т (т.е. часть
-й
реализации
).
На этом отрезке можно взять преобразование
Фурье, а затем усреднить спектральную
плотность.
,
но
не усредняются, поэтому выбирают такие
характеристики, чтобы фаза отсутствовала:
Если
взять
таких
,
то получим спектральную характеристику
энергетического процесса.
Т.е.
Чтобы
исключить неприятности сходимости
интегралов Фурье, из реализации исключают
детерминированные составляющие и
получают усеченную реализацию, и при
получают энергетический спектр
-й
реализации:
А
далее проводят усреднение по всем
реализациям и получают энергетический
спектр всего случайного процесса
(для этого меняют порядок).
.Это
только для стационарного случайного
процесса.Т.к.
- функция четная и действительная
,
то
- действительная неотрицательная
функция.
Учитывая
эти свойства, часто используется
односторонний энергетический спектр
(
),
который выражается через
:
Для случайного процесса она является усреднением, поэтому по энергетическому спектру нельзя восстанавливать случайный процесс.Это является существенным отличием. показывает, как энергия сигнала распределена по частотам. Он позволяет проводить анализ.
40. Формула Винера-Хинчина.
В
обычном преобразовании Фурье существует
две функции, связанные между собой;
оригинал
и изображение
;
связана с энергетическим спектром
.Усредненной
функцией времени случайного процесса
является корреляционная функция (КФ)
.
Винер и Хинчин доказали эту связь между
и
с помощью преобразования Фурье. Но здесь
существуют некоторые трудности, т.к.
;
- интеграл свертки.Обобщенная характеристика
.Вся
сложность усреднения заключается в
том, что его необходимо производить до
взятия предела.
;
- оригинал, то
- изображение случайного процесса.Учитывая
свойства четности
можно указать на следующие особенности.
;
- односторонний спектр.
- косинус преобразования Фурье
;1)
;
2)
;3)
41. Свойства спектрально-корелляционных характеристик. Белый шум
Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t. Корреляционные и спектральные характеристики случайного процесса. Рассмотрим далее временные характеристики таких процессов.
Пусть
имеется две случайных функции
.
Взаимная корреляционная функция этих
случайных процессов рассчитывается в
виде
Нормируя
корреляционную функция
получим коэффициент корреляции
,
-
дисперсии случайных процессов
,
.
Если
и
–
значения одного и того же случайного
процесса
,
то можно рассчитать коэффициент
автокорреляции
.
Если
процесс стационарен, то
,
т.е. функция автокорреляции зависит
только от временного сдвига
и не зависит от времени
.
Иногда это утверждение считается
определением стационарного процесса.
Кроме того, для стационарного случайного
процесса функция автокорреляции
симметрична, т.е.
.
Из сказанного выше следует:
.
Характерный
интервал
,
на котором функция автокорреляции
уменьшается в
раз, называется временем
корреляции. Время
корреляции определяет, насколько в
случайном процессе каждое следующее
во времени его значение связано с
предыдущим.