Распределение огибающей и фазы нормального случайного процесса.

Случайные процессы и можно рассматривать как комплексный вектор.

Конец вектора характеризуется в декартовых координатах: и , ; в полярных: .

Вероятность попадания конца вектора в точку плоскости ХУ можно характеризовать двумерной плотностью вероятности .

Если нет взаимного сдвига, то:

Т.к. Х и У – сопряжены по Гильберту и они являются стационарными эргодическими, то , тогда

44. Функциональные преобразования одномерного распределения случайного процесса

Есть случайные процессы , есть преобразователь, связывающий Х и У следующим образом: .

Каждая реализация случайного процесса Х порождает новую реализацию процесса У.

- функция распределения вероятности для входного случайного процесса Х.

Представим , где - обратная функция . Предположим, что она существует и известна.

.

Эти площади должны быть равны.

, если обратное преобразование однозначно.

Оно неоднозначно, если, например, взять ВАХ туннельного диода.

О дному значению у соответствует 3 значения х.

Это может привести к нескольким несовместимым событиям и при

Отсюда

46. Задачи оптимальной линейной фильтрации. Передаточная функция согласованного линейного фильтра.

Большинством способов уменьшения влияния помех является оптимальная фильтрация. Она должна решать две задачи:

1. выделение сигнала на фоне помех (задача воспроизведения). Оптимальная фильтрация позволяет воспроизводить наш сигнал наилучшим образом).

2. Определение параметров сигнала, который несет информацию (здесь не требуется восстанавливать сигнал, поэтому форма сигнала может искажаться).

Для фильтров выделения обычным критерием является линейные искажения обычным критерием являются линейные искажения при воспроизведении. Критерием оптимальности для фильтров второго типа (фильтра обнаружения сигнала) является максимум соотношения сигнал/шум.

Будем рассматривать фильтры второго типа.

, где - пиковое значение сигнала;

- эффективное значение шума.

Т.к. характеристики таких функций связаны с параметрами сигналов, их часто называют согласованными.

Передаточная функция согласованного линейного фильтра (лф).

Есть ЛФ с постоянными параметрами (стационарный ЛФ).

- сигнал известной формы

- белый шум

Наложим ограничение на момент достижения максимума выходного сигнала, т.е. - момент максимума.

Найдем соотношение сигнал/шум на выходе фильтра.

Неравенство Коши-Шварца (Шварца-Бунаковского):

В нашем случае , при условии интеграл достигает максимума, т.е. это – условие оптимальности нашего фильтра.

Следовательно:

Т.к. характеристики оптимального фильтра жестко связаны с характеристиками сигнала, то фильтр называется согласованным.

При все составляющие будут иметь одну фазу и будут складываться. Т.о. получим максимум.

47. Импульсная характеристика и физическая осуществимость согласованного линейного фильтра

Между и существует взаимно однозначная связь с помощью преобразования Фурье:

- зеркальное отображение сигнала, для которого этот фильтр оптимален.

Условия физической осуществимости оптимального фильтра:

1. условие причинности: сигнал на выходе не появится, пока не подать сигнал на входе -

2. условие устойчивости - устойчивые цепи должны иметь затухающую импульсную характеристику:

Рассмотрим временные характеристики

1. сам сигнал

2. о птимальный фильтр с импульсной

характеристикой такого вида будет

осуществим, если выполнится

условие .

3. Если ,

то будет конечная

и при .