23. Визначення моментів інерції перерізу при повороті осей

Припустимо що задана система координат і відомі моменти інерції Iz, Iy и Izy фігуривідносно цих осей. Повернемо осі на деякий кут α і визначимо моменти інерції тієї ж фігури відносно нових осей координат u и v.

З малюнку члідує, що координати будь якої точки зв’язані між собою відношенням

Момент інерції

Виходить

Доцентровий момент інерції

З отриманих рівностей видно, що

Тобто сума осьових моментів інерції при повороті осей координат залишаеться величиною постійною. Тому, якщо відносно будь якої осі момент інерції досягає максимуму, то відносно перпендикулярної йому осі він має мінімальне значення.

24.Визначення положення головних осей перерізу.

При зміні кута|рогу| величини Ix1|, Iy1| і Ix1y1|змінюються. Знайдемо значення кута|рогу|, при якому Ix1| і Iy1|мають екстремальні значення; для цього візьмемо від Ix1| або Iy1| першу похідну по і прирівняєм| її нулю:

1

Або

2

Звідки

3

Ця формула визначає положення двох осей, щодо однієї з яких осьовий момент інерції максимальний, а щодо іншої - мінемальний.

Такі осі називають головними. Моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції.

Після перетворень отримаємо наступну формулу для визначення головних моментів інерції:

Досліджуючи другу похідну можна встановити, що для даного випадку (Ix<Iy) максимальний момент інерції Imax має місце щодо головної осі, поверненої на кут по відношенню до осі х, а мінімальний момент інерції - щодо іншої, перпендикулярній осі. В більшості випадків в цьому дослідженні немає потреби, оскільки по конфігурації перетинів видно, яка з головних осей відповідає максимуму моменту інерції.

Головні осі, що проходять через центр тяжіння перетину, називаються головними центральними осями.

25. Визначення головних моментів інерції. Радіуси інерції поперечного перерізу стержня

Радіуси інерції поперечного перерізу стержня

Радіус інерції перетину - геометрична характеристика перетину, що зв'язує момент інерції фігури J з її площею F наступними формулами:

Отсюда, формула радиуса инерции:

У опір стрижнів подовжньому вигину (втраті стійкості) основну роль грає гнучкість стрижня, тобто величина найменшого радіусу інерції перетину. Таким чином, велику економічність матимуть ті перетини, у яких найменший радіус інерції дорівнює найбільшому, тобто перетини у яких всі центральні моменти інерції рівні, а еліпс інерції звернувся б в круг.

Одиниця вимірювання СІ - м. У будівельній літературі частіше записується в міліметрах або сантиметрах, зважаючи на невелику величину на практиці

Якщо моменти інерції Jy і Jz є головними моментами інерції, то iy і iz - також є головними радіусами інерції

У деякій літературі радіус інерції позначається просто r.

26. Плоске поперечне згинання. Визначення внутрішніх силових факторів.

Внутрішні сили пружності визначають взаємодію між частками тіла, розташованими по різні сторони від подумки проведеного перерізу. У різних перерізах тіла виникають різні внутрішні сили пружності, але за принципом дії й протидії вони завжди взаємні. Права відсічена частина тіла діє на ліву точно так само, як і ліва на праву, а це означає, що рівнодіюча внутрішніх сил може визначатися з умов рівноваги як лівої відсіченої частини тіла, так і правої.

З курсу теоретичної механіки відомо, що будь-яку довільну систему сил можна привести до центра ваги перерізу. У результаті внутрішні сили пружності, що діють у розглянутому перерізі, приводяться до головного вектора R і головного моменту M. Виберемо прямокутну систему координат OXYZ так, що вісь Z буде спрямована по нормалі до поперечного переріза, а осі X і Y лежать у площині перерізу. Проектуючи головний вектор R на кожну з осей, а головний момент M на кожну з координатних площин, одержимо шість величин - 3 сили й 3 моменти, - які називаються внутрішніми силовими факторами

Отримані в такий спосіб 6 внутрішніх силових факторів (ВСФ) мають строго певні назви:

Nz - поздовжня (нормальна) сила;

Qx, Qy - поперечна (перерізуюча) сила;

Mx, My - згинальний момент;

Mz - крутний момент.

Іноді позначення Mz заміняють на Mкр або Mк, що більш точно відповідають фізичному змісту цієї величини.

Графік, що показує як міняється внутрішній силовий фактор по довжині розглянутого тіла, називається епюрой.

Правильність побудови епюри забезпечується, у першу чергу, належним вибором характерних перерізів, тобто тих перерізів, у яких величина внутрішнього силового фактора обов'язково повинна бути визначена.