Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

70	Гл. 2. Линейная алгебра

Ответ.

'S'AI,2=3 = { X : x=:Ciei + C2e2 7^0},гдее1={1,1,0}ие2 = {1,0,1};

5лз=1 - {х : X = Сзез / 0}, где ез = {0,1,1}.

Условия ЗАДАЧ. Найти собственные значения и собственные векторы операт,оров А : Х^ ь-> Хз, заданных в некот^ором базисе мат^рицами.

	1	1		М
	4	- 2		'ч
	0	0
	2	1		- 1
4.	0	3		- 1
	0	- 1		3
	2	0		- 1
5.	3	5		- 1
	- 1	0		2
	2	1	0 \
	1	2	0	•
	3	2	4 ;
	4	2		1
10.	0	2		- 1
	0	- 1		2

Глава 3 ПРЕДЕЛЫ

При изучении темы ПРЕДЕЛЫ вы познакомитесь на примерах с понятиями предела последовательности, предела и непрерывности функции в точке, научитесь вычислять различные пределы, исполь­ зуя теоремы о пределах, эквивалентные бесконечно малые и специ­ альные приемы.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить неравен­ ства, выполнить численные расчеты и проверить правильность полу­ ченных вами результатов.

3.1. Понятие предела последовательности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела последо­ вательности, доказать, что

lim а-п = а.

п—>оо

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. По определению число а называется пределом числовой последов ательносппи {ttn}, если

Уб: > О 3N{£) : п > N{e) => \ап - а\ < е.

Это означает, что We > О неравенство |ап — а| < е имеет решение

п> N{€).

2.Найдем, при каких п справедливо неравенство

\ап - а\ < €,

т.е. решим это неравенство относительно п.

3. Если решение имеет вид п > N{e), то а — предел числовой последовательности {an}-

72 Гл. 3. Пределы

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ решение неравенства la^ — а| < s нельзя пред­

ставить в виде п > N{e),

то число а не является пределом последова­

тельности

{an}-

ПРИМЕР. Пользуясь

определением

предела

последовательности,

доказать, что

2п^

lim

= 2.

РЕШЕНИЕ.

п—Уоо п^

1. По определению число 2 называется пределом числовой после­

Г 2п^ ]

довательности I n 3 - 2 J '

если

Ve > О 3N{€)

: п >

N{e)

2n3

<

€.

2. Найдем, при каких п справедливо неравенство

2п^

- 2

<е,

п З - 2

т.е. решим это неравенство относительно п.

3. Неравенство имеет решение n>N{e)

= ^4/б: + 2. Следователь-

но, 2 — предел числовой последовательности

< - ^ — - >.

[ п*^ - 2 J

Ответ,

п > У^/е

-f 2.

Условия ЗАДАЧ. Пользуясь

определением

предела

последователь­

ности,

доказать, что limn_).oo сьп = сь.

1.

an =

2 п - 2

2

ttn

=

4 n - 2

a =

2.

3 n - l '

" = 3 -

2n +

3'

3.

а„

=

3n + 2

3

4. ttr,

=

5n-f-2

5

2 n + l '

3 n + l '

" = 3 -

5n + 2

a = 5.

4п2-Ы

a = 4.

n + 1 '

dn = п2 + 2

7.

an

=

3 - n 3

a =

- 1 .

CLn

=

6 n - 2

a = 3.

1 + пЗ'

2 n + l '

9.

an =

3 + 8n2

a = 2.

10. an

=

3n

a = 3.

1 + 4n2'

n - h l '

3.2. Вычисление limn-^oo[Pk{n)/Qm{n)]

73

Ответы.	1. п >	Зе + 4	.	^	8 - 3 £
		—		2. п > —-—.
		9е			2€
1 - 3 5	,	3-е		^	7-2б
96		е		V £
5 - 5	^	/ 1 - 5		_	3 - 5	.
8. п > — — .	9. n > W — — .			10. п >	5
25		V 45

^	1 - 2 £
3. п >	—:ie	.

^3 / 4 - 5

3.2. Вычисление limn-^oolPk{^)/Qm{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

уРк{п)

где

Рк{п) — акП^ + ак-\п^~^ + ...

+ сцп + ао,

Qm(n) = Ь^п^ -f 6^_in^-^ + ... + 6in + 6о.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Здесь Рк{п) — многочлен степени к (бесконечно большая последовательность порядка п^) и Qmip) — многочлен сте­

пени т (бесконечно большая последовательность порядка	п^).
1. Вынесем в числителе множитель п^^ получим Pfc(n)	= п^р{п)^
где р{п) = ak + ak-i/n + ... + ао/п^.

2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим Qm{4^)=^4^^Q{i^)^

где q{n) = bm-\- bm-i/n			+	... -f		bo/n"^.
3. Имеем				Pk{n)				n^pjn)
		lim				, =	lim
				-	,			7-T-.
		n-)-oo Qm\4^J					n->oo	n^q(n)
4. Получаем:
если	к > m^	то	lim		--—7—г = oo;
		^-^°^			Qm{n)
если	к < m^	то	lim		Pk(n)
				——т-т- = 0;
		n-^oo			Qm{n)
если	к = гПу то по теореме о пределе частного
		РА:(П)	^			р(п)	^ limn->oop(n)		^ ак_
	^-^°°	Qrn{n)		п^оо		g(n)	limn-^00 q{ri)		bm '

74	Гл. 3. Пределы

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

^.^(2п + 1 ) ^ - ( п + 1)^

п-^оо П? -{- П -\- 1

РЕШЕНИЕ. Здесь (2п + 1)^ - (п + 1)^ =? Зп^ + 2п — многочлен вто­ рой степени (бесконечно большая последовательность порядка п^) и п^ -\- п -{- 1 — многочлен второй степени (бесконечно большая после­ довательность порядка и?).

1. Вынесем в числителе множитель гг^, получим

(2n-f 1)^-(гг + 1)2 = п2 ( З - Ь -

2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим

. 2 I _ , 1 2

3. Имеем
^.	(2п + 1)2-(п4-1)2				,.	п2(3 + 2/гг)
lim	-^^	г^^	^	— =	lim
		п^ + п + 1			п-^сх) 71^(1 + 1/гг 4-l/n^)

4. Сокраш;ая n^ и используя теорему о пределе частного, получаем

	j . ^	(2п + 1)^ - (п + 1)^ ^				limn^oo(3 + 2/n)	^ g
Ответ,		lim	г^^	-—	— = 3.
		п->оо	71^ -f	П 4- 1
Условия ЗАДАЧ. Вычислить					пределы.
1	и ^	( 5 - п ) ^ + (5 + п)^				( 4 - п ) 3 - ( 2 - п ) 3
• n ^ o o ( 5 - n ) 2 - ( 5 +				n)2-	•	„ ^ o o ( l - n ) 2 - ( 2 +	n)4'
		(3 - n)3 - (2 - n)3				( 2 - n ) 2 - ( l + n)2
	„^}^	(3 + n ) 2 - ( 2 + n)2				(n + 2 ) 3 - ( n + 2)2
^-		(2 + n)2 -	(1 -	n)2 •		n - ^ (n - 2)3 - (n + 2)3'

			3.3. Вычисление Итпп-^оо [/(^)/р(^)]					75
^	^.	(14-3n)3 - 27пЗ			^	^.	(3-2гг)2
7.	lim -^^7		-^—--^.		8.	lim	^	^
	п->оо	(1 +	4п)2 + 2п2 '		'	п-^оо (п -	3)2 -	(П + 3)^ *
			(2 +	п)2		(п + 2 ) ^ - ( п + 5)2
^- ,^™о(^ + 2 ) 2 - ( п + 1)3-					'^-	п^"^	( З - п ) з
Ответы.		1. - 0 0 .		2.0. 3.0.	4. - 1 . 5.1/3.		6. - оо. 7.9. 8. - 2 / 9 .
9. -	1. 10. 1.

3-3. Вычисление Ит^г-^оо [f{^)/9{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

		у	fin)
		lim	- т — ,
		п->оо ^(тг)
где	f{n) — бесконечно	большая	последовательность	порядка	п" и
д{п)	— бесконечно	большая	последовательность	порядка	п^
(a,/3GR).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Вынесем в числителе множитель п^ ^ получим /(п) = п"(^(п), где Ишп-чоо ^(п) = а, а ^^ 0.

2. Вынесем в знаменателе множитель п^, получим д{п) = п^'ф(п)^ где Ишп-^оо Ф{п) = Ь, Ьф 0.

3. Имеем

/(п) lim —-г- =

п-)-оо ^(п)

4. Получаем:

л /

\

lim п Х п ) .

п->оо п^гр[п)

если	а > /3,	то	lim	. . = оо;
если	а < /3,	то	lim	—г-г = 0;
			п->оо ^ ( п )
если	о; = /?,	то по теореме о пределе частного
				п/\	lim	(/?(n)
			lim	Zil^ =	n->oo^^ ^ ^		a
			n->oo ^(n)		lim	V^(n)	6

76	Гл.З. Пределы

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

lim --——»,

"->о° (n + i/n) Vn^ - 1

РЕШЕНИЕ. Числитель n %^ + \/32n^^ 4-1 — бесконечно большая последовательность порядка n^ и знаменатель (п + ^/п) \/n^ — 1 — бесконечно большая последовательность порядка п?.

1.Вынесем в числителе множитель п^, получим

2.Вынесем в знаменателе множитель п^, получим

(п+ t/57) V;^^= п^ (l + ; ^ ) уь1Т.

3. Имеем

пУН+^32п10 + 1 _

п^(1/п'/б + 2 y i + l/n^o)

" ^ (П + t/^) V^^S-ZT " пД^ „2(1 + 1/пЗ/4) y i - l / n S •

4. Сокращая п? и используя теоремы о пределах,		окончательно
получаем
пУИ+У32п10 + 1 _	1/п5/б + 2 y i + 1/ni»	^
п ^ (п + t/H) V^^3-ri; •" n ^	(1 + 1/пЗ/4) y i - 1 / п З	~
^	liin„_^(l/nV6 ^ 2 y i	+ 1/п^») ^ ^
	lim„^oo(l + 1/пЗ/4) y i - 1 / п З

ЗАМЕЧАНИЕ. В данном случае было использовано свойство корня,

в силу которого lim„_>oo		У 1 + 1/п^° = 1 и lim„_+oo У 1 — l/n^ = 1.
Ответ, lim	, ^	, ,	= 2.
n-voo	(„ 4- i/n)	Vn3	- 1

3.4. Вычисление lim„_).oo [w(n)^^"^]

77

Условия ЗАДАЧ. Вычислить

пределы.

1.

lim

-Z—

= .

2.

lim

"->°°

Vn^ -f 3 + \/nM-2

r^-^oo (тг + x/n)\/7 - n -f п2

^

,.

\/2n3 + 3 -

гЛГГб

,

\ .

\Л52ТЗ + ЗпЗ

3.

lim

о,

: .

4.

lim

Vn^'^ + 2n + 1 - :

"-^oo

\/ггЗ + 2 -

\/n - 1 *

'

^^^

^

,.

V3n + 2 -

Vl25n3 + n

^

,.

n V n - V27n6 + n^

5.

lim

r-=

.

6.

lim

-—-— === - .

n->oo

X/n-\-n^

n-^oo

(77,+

yn)v4 +

n2

^

,.

V r r T 2 - 4 A ^ 2 T 2

^

^.

Vn^ + 3 +

\ Л Г ^

7.

lim

. ,

:

q,

8.

lim

.,

,

П-УСХ) Vn^ + 1 -

Vn2 - 1

^-^^

Vn^ H- 2 - Vn - 2

^

,.

1 0 n 3 - V ' ; ? T 2

_

,.

^/^ГТ2 - VSn^ + 3

9.

lim —.

.

10. lim

Д ,

.

n-^00 ^4n^

| 3 _ ^

n-^00

yn 4- 5 + n

Ответы. 1. л/2. 2.0. 3. +oo. 4.3. 5.5. 6. - 3 . 7. - 1 . 8. +00. 9. 5. 10. - 2 .

3.4, Вычисление lim^_>oo ['^(^)^ ]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел последовательностей

lim [и{пУ^''\

П—>СХ)

где lim^_^oo'^(^) = 1 ^ lim^_).oo'^(^) = оо.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы исполь­ зовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:

a{ri)v{n)

ИтКп)''<"^]= lim f(l + Q(n))i/«("))'

где а{п) = и{п) — 1 — бесконечно малая последовательность при п -^ оо. Так как а{п) -^ О при п -> оо, то

lim(l + a(n))^/^(")=e.

п—>-оо

2. Если limn->oo «п = ^ (^п > О, а > 0) и limn->oo Ьп = 6, то

lim ttn^'^ = а^.

78	Гл. 3. Пределы
Следовательно, если существует предел
lim	a{n)v{n) = lim {и{п) — l)v{n),
n—>оо

то окончательно имеем

lim [и{п)v(n)] _ glimn_>cx)(ii(n)-l)i)(n)

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

lim	4n^ + 4n - 1 l - 2 n
n->oo у 4n^ 4- 2n -h 3

РЕШЕНИЕ.

1. При n •Ч' oo выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

п->оо уАп^ + 2гг + 3

а показатель — к минус бесконечности:

lim (1 — 2n) = —ОС.

п->оо

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

4п^ + 4п - 1 1 - 2п		2 г г - 4	1 - 2п
4п2 + 2п + 3	- ( 1 + 4п2 + 2п + 3
			( 2 n - 4 ) ( l - 2 n )
		4n2 + 2n + 3		4п2 + 2n + 3
		2 п - 4	2 n - 4
		4гг2 + 2п + 3
Так как		2гг-4
			- >0
при п —> оо, то		4п2 + 2n + 3
		2 n - 4	4n2 + 2n + 3
lim	l-f		2 n - 4	e.
		4n2 + 2n + 3	=
oo V

3.5. Понятие предела функции

79

2. Так как

п-^оо 4гг2 + 2n + 3 то окончательно имеем

1 - 2

п^оо V 4n2-h2n + 3

,.	/4п2 +	4 п - 1 \ ' ~ ^ "	= е	_,
Ответ, lim	-—г—	2n + 3 /		\
п->сх) V4n2 +

Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.

1.,i„,-2±iV.

-^oo\n — 1 /

			2 I	I о \	""'^'^
5.	lim		^г		.
	п-)-оо	уп"^ -\- П — 1 J
^	^.	/	Зп2-2гг		V ^ '
7.	lim		-тг-^—7.		Z	.
	n^oo \3п2 - 2 n + 5y
		/	Ч ,	o \ n—n^
9.	lim		-T^		.
	n->oo	V TT'^ — 2 /

,. „„^2-+^^""

п-)-ооу2гг + 3

п-)'СХ) у2п^' -\- 1

/I тЧ " + 3

6.lim ,

п^оо \П + 5

оV /2гг2 + п + 5 \ ' " ^

8.lim —-z

n-^cx) \2n2 + n + ly

/, 1 \ Зn^ + l

10. lim '

n->oo V n — 1

Ответы. 1. e^ 2. Ve. 3. e. 4. e. 5. e'^. 6. e^. 7. 1. 8. e^

9.e"^. 10. +00.

3.5.Понятие предела функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением предела функции в точке^ доказать^ что

lim f{x) = А.