26. Оценивание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках

Рассмотрим уравнение регрессии

• Пусть оценки а и b параметров уравнения регрессии найдены обычным МНК;

• Пусть критерий Д–У показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.

Чтобы понять, каковы последствия автокорреляции в остатках для оценок параметров модели регрессии, найденных обычным МНК, построим формальную модель, описывающую автокорреляцию в остатках. Автокорреляция в остатках первого порядка предполагает, что каждый следующий уровень остатков e_t зависит от предыдущего уровня e_{t –1}. Следовательно, существует модель регрессии вида где с и d — параметры уравнения регрессии.

В соответствии с рабочими формулами МНК имеем:

После преобразований имеем: (коэффициент автокорреляции остатков первого порядка). Т. обр.: ( -случайная ошибка без автокорреляции). Уравнение регрессии (1) можно переписать в виде: .

Текущий уровень ряда у_t зависит не только от факторной переменной х_t, но и от остатков предшествующего периода. Допустим, мы не принимаем во внимание эту информацию и определяем оценки параметров а и b уравнения регрессии обычным МНК. Тогда полученные оценки неэффективны, т.е. они не имеют минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t-критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого фактора на результат, в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.

Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков. Обратимся к исходной модели (1). Для момента времени t–1 модель примет вид: .

Умножим обе части уравнения на : .

Вычтем из уравнения (1) последнее и проведем тождественные преобразования:

или .

Поскольку u_t - случайная ошибка без автокорреляции, то для оценки параметров последнего уравнения можно применять обычный МНК. Если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК:

1. Преобразовать исходные переменные y_t и х_t к виду

2. Применив обычный МНК к уравнению (2), определить оценки параметров а и b.

3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения как .

4. Выписать исходное уравнение (1).

Если значение критерия Дарбина–Уотсона близко к 0, применение метода первых разностей вполне обоснованно. Если , т.е. в остатках наблюдается полная отрицательная автокорреляция, то изложенный выше метод модифицируется следующим образом: Аналогично

Поскольку , имеем: .

Следовательно, (3).

В модели (3) мы определяем средние за два периода уровни каждого ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычным МНК рассчитываем параметры а и b. Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним.

рассчитывается из соотношения: .

27. Системы одновременных эконометрических уравнений. Структурная и приведенная форма модели. Идентифицируемые, неидентифицируемые и сверхидентифицируемые системы.

Отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных факторов на вариацию ре­зультирующей переменной. Поэтому в последние 10-летия в эконометрике важное место заняла проблема описания структуры связей переменными – системой одновременных уравнений (структурными уравнениями).

Структурная и приведенная формы модели (СФ и ПФ)

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные - это зависимые переменные (у). Число эндогенных переменных равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные - это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них (х).

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

Коэффициенты b_i и a_i, которые называ­ются структурными коэффициентами(CK). Все переменные в модели вы­ражены в отклонениях от среднего уровня. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов дает смещенные и несостоятельные оценки. По­этому обычно для определения структурных коэффициентов CФ преобразуется в приведенную форму модели.

ПФ представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где коэффициенты приведенной формы модели (ПК).

Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

ПК представляют собой нели­нейные функции СК: , , ,

При переходе от ПФ к СФ исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единствен­ность соответствия между ПФ и СФ модели.

Пусть структурная модель имеет вид:

Из второго уравнения можно выразить у₁ следующей формулой:

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной переменной у1 с од­ним и тем же набором экзогенных переменных, но c разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффициентов одной и той же модели связано с неполной ее идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из п эндогенных и т эк­зогенных переменных, содержит п(п-1+т) параметров.

Приведенная форма модели в полном виде содержит пт параметров.

В полном виде структур­ная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма моде­ли. Соответственно п(п-1+ т) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из пт параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной моде­ли, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэф­фициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу.

Структурные модели можно подразде­лить на три вида:

1) Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты опре­деляются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу па­раметров приведенной формы модели.

2) Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффи­циенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

3) Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.