1. Учет погрешности вычислений.

При решении математических задач возникают погрешности вычислений. Их основные источники:

1. математическая модель

2. приближенный метод

3. погрешность исходных данных

4. погрешность округлений

При составлении математической модели реального физического процесса часто приходится принимать условия упрощающие постановку задач. Математическая модель не отражает точно реальные явления, а дает лишь идеализированную картину. Погрешность, которая возникает при этом называется погрешностью модели или постановки задач.

Часто для решения математических задач применяют метод ее приближенного решения. Например, при вычислении того же интеграла пользуются квадратурной суммой – функцию заменяют многочленом. При этом возникают погрешности метода.

Погрешность может быть вызвана тем, что при вычислениях приходится производить действия над приближенными, а не над точными значениями параметра, входящих в математическую формулу (исходные данные заданны приближенно). При этом погрешность исходных данных в какой-то степени переходит в погрешность результатов - погрешность действий (исходных данных).

Также погрешность возникает при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большое количество значащих или десятичных знаков, чем требуется в вычислениях. Такая погрешность называется погрешностью округления.

Опр.1. Пусть x некоторое число, приближенным значением (приближением) числа x называется некоторое число a, которое в определенном смысле заменяет x в вычислениях. Запись означает, что число a является приближенным значением числа x.

Опр.2. Погрешностью приближенного значения a числа x называется разность x-a Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью. По знаку погрешности можно определить, как взято число a: с недостатком или с избытком (если , то a взято с недостатком, если , , то число a взято с избытком).

Опр.3. Границей погрешности приближенного значения a числа x называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля погрешности, т.е. .

Говорят, что число a – приближенное значение числа x с точностью , если: , ; – и будет означать, что a и есть приближенное значение числа x с точностью до .

Пример 1. a =0,273 есть приближение некоторого числа 𝑥 с точностью =0,001. Указать границы, в которых находится . При округлении чисел считают, что граница погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда, т.е. , где – порядок округляемого разряда.

Опр.4. Относительной погрешностью приближенного значения a числа 𝑥 называется отношение . Относительная погрешность не всегда может быть вычислена, поэтому чаще всего нужно вычислять или оценивать ее модуль.

Модуль относительной погрешности чаще всего задается в процентах.

Чем меньше модуль относительной погрешности, тем точнее приближение и выше его качество.

Опр.5. Границей относительной погрешности приближенного значения числа 𝑥 называют всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля относительной погрешности . Установим связь между границами абсолютной и относительной погрешностями. . С другой стороны