45. Оценка порядка интегрируемости. Тесты Дики-Фуллера

Тесты Д-Ф служат для определения порядка интегрируемости процесса Y_t=α₁Y_t-1+ε _t (1). Основная идея метода заключается в проверке гипотезы о стационарности процесса и последовательных его разностей повышающегося порядка. Зам. Если проводить оценку пар-ра α₁ ур-ия (1) обычным МНК и проверять гипотезу о равенстве α₁=1 с помощью t-статистики, м. получить ложную значимость, т.к в рамках нулевой гипотезы t-теста Стьюдента оцениваемое знач-ие д.б стационарно. Тест Д-Ф (DF-тест) использует нулевую гипотезу, кот предполагает нестационарность процесса, т.е основан на оценке параметра δ=α₁-1 уравнения ΔY_t=Y_t-Y_t-1=δY_t-1+ε _t (2). (2) эквив-на (1), при этом Н₀: состоит в проверке факта, что δ=0; Н₁: что δ<0. Если Н₀ отклоняется в пользу альтернативной, то делаем вывод, что α₁<1, т.е процесс Y_t — стац-ый, или интегрируемый нулевого порядка. Поскольку распределение статистики Д-Ф не имеет аналитического представления, существуют некоторые сложности с определением точного критического значения для DF-теста. Таблицы теста Д-Ф на порядок интегрируемости, рассчитаные для обычных уровней значимости в 1, 5, 10%. Эти табл эмпирические, а не теоретические, поэтому в таблице крит-их знач-ий указаны верхнее и нижнее пороговые значения. (Указ-ые в табл знач-ия DF-теста отриц-ны). Для проверки ВР у_t на порядок интегр-ти рассчитывают значение t-статистики Стьюдента для пар-ра δ и сравнивают его с верхним и нижним пороговыми значениями DF-статистики из таблицы. Если расчетное знач-ие t меньше, чем нижнее крит-ое знач-ие при данном числе наблюдений n, то для Н₀: δ=0 отклоняем, т.е принимаем альтернативную о стационарности процесса Y_t. Если расчетное значение t-статистики превышает верхнее критическое значение, тогда нулевая гипотеза не м.б отклонена, процесс нестац-ый. В случае, когда расчетное критическое значение попадает в область между верхним и нижним критическими значениями, ничего определенного об отклонении или принятии нулевой гипотезы сказать нельзя. Если тест показал наличие стац-ти проводится оценка о наличии интегрируемости первого порядка, т.е.DF-тест применяется к первым разностям. Ур-ние (2) примет вид: ΔΔY_t=δΔY_t-1+ε _t. Снова выдвигаем две гипотезы: Н₀ : δ=0 (процесс нестац); Н₁ : δ<0 (стац). Если на основе DF-теста отклоняем Н₀ и принимаем Н₁, то процесс Y_t интегрируем первого порядка (имеет один единичный корень). Если Н₀ неотклон-ся, то проверяют процесс на интнгрируемость второго пор и т.д Сущест-ют формы для DF-теста для оценки порядка интегр-ти случая процесса со смещением: Y_t= α₀ +α₁Y_t-1+ε _t, где α_{0 –} свободный член(смещение). Механизм оценки аналогичен описанному выше, за исключением применяемой таблицы. Зам: На практике трудно различить ситуации, когда применять DF-тест, а когда DF-тест со смещением.

46. Модификации теста Дики-Фуллера для случая автокорреляции

Если в остатках _t наблюдается автокорреляция, то рез-ты обычного МНК будут недостоверны. Для решения этой проблемы Дики и Фуллер предложили включить в правую часть дополнительные объясняющие переменные: лаговые значения переменной из левой части Y_t=α₁Y_t-1+ε _t (1), т.е. (2). Данный тест называется обобщенным тестом Д-Ф (ADF-тест). Процедура тестирования — оценивается значение t-критерия Стьюдента для параметра ₁. Критические значения для ADF-теста те же самые, что и для обычного DF-теста. Добавим в (2) константу и линейный тренд: Добавленные в уравнения лаговые компоненты никак не изменяют верхние и нижние пороговые значения, поэтому в качестве таблицы критических значений для ADF-статистики используют соответствующую таблицу для DF-статистики. Выбор длинны лага к эл-тов авторегрессионной компоненты достаточно сложная задача. Основная цель включения дополнительных слагаемых — обеспечение свойств «белого шума» для случайной компоненты _t, поэтому необходимо проверить _t, на независимость и одинаковое распределение. Зам: Если mах длина лага =к, то кол-во дополнит. слагаемых м.б. <к, т.к некот из коэф-тов α _i+1 м. оказаться = 0. В качестве критериев определения оптимальной длины лага можно использовать информационные критерии Акаики и Шварца. Они основаны на принципе снижения остаточной суммы квадратов при добавлении значимого фактора. Информационные критерии могут быть рассчитаны по следующим формулам:

где l_max(T,k) — значение логарифмической функции правдоподобия оцениваемой модели;

Из двух моделей в определенном смысле лучше та, для которой значение AIC (и SC) ниже, a AIC_L (и SC_L) выше. SC-критерий отбирает более экономичные модели.