49.Изучение структуры лага и выбор вида модели с распределенным лагом. Модели Алмон.

Текущие и лаговые знач-ия факторной переменной оказывают различное по силе воздействие на результативную переменную модели. Количественно сила связи между рез-том и знач-ями факторной переменной, относящимися к различным моментам времени, измеряется с помощью коэф-тов регрессии при факторных переменных. Можно построить график зависимости коэф-тов от величины лага.

Е сли с ростом вел-ны лага коэф-ты при лаговых знач-ях переменной убывают во времени, то имеет место линейная (рис.а) или геометрическая стр-ра лага (рис.б). На (рис.в-е) показано, когда лаговые воздействия фактора на рез-т не имеют тенденцию к убыванию во времени; (рис.в)– «перевернутая» V-образная стр-ра., (рис.г)– V-образная, (рис.д, е)–парабола 2-ой и 3-ей степени соотв-но. Лаги Алмон. Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, кот опис-ется соотношением .(1) Предположим, было установлено, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т.е. зависимость коэффициентов регрессии b_j от величины лага описывается полиномом k-й степени. Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон. Формально модель зависимости коэффициентов bj от величины лага j в форме полинома можно записать так:

– для полинома первой степени b_j=c₀+c1*j; – второй степени b_j=с₀+с₁*j+c₂*j²; – третьей степени b_j=с₀+c₁*j+c₂*j²+с₃*j³ и т. д. В наиболее общем виде для полинома к-й степени имеем: b_j=с₀+c₁*j+c₂*j²+...+c_k*j^k (2). В (1) подставив (2) и перегруппировав получим: y_t=а+с₀х_t+с₀(х_t+х_t-1+...+х_t-l)+с₁(х_t-1+2х_t-2+3х_t-3+...+l_хt-l)+...+с_k(х_t-1+2^kх_t-2+3^kх_t-3+...+l^kх_t-l) (3). Обозначим слагаемые в скобках при ci как новые переменные: z₀=х_t+х_t–1+...+х_t–l; z₁=х_t–1+2х_t–2+3х_t–3+...+lх_t–l … z_k=х_t–1+2^kх_t–2+3^kх_t–3+...+l^kх_t–l (4). Перепишем модель (3) с учетом (4): y_t=а+с₀z₀+с₁z₁+с₂z₂+…+с_kz_k+ε_t. (5). Процедура применения метода Алмон для расчета пар-ров модели с распределенным лагом выглядит след образом. 1)Определяется макс-ая вел-на лага l. 2)Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага. 3)Рассчитываются значения переменных z₀,..., z_k. 4)Определяются пар-ры ур-ния линейной регрессии (5). 5)При помощи (2) рассчитываются пар-ры исходной модели с распр лагом. Недостатки метода Алмон: 1)Величина лага l должна быть известна заранее. 2)Необх-мо установить степень полинома k. 3)Переменные z, которые рассчитываются как линейные комбинации исходных переменных х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными. Дост: 1)он достаточно универсален и м.б. применен для моделирования процессов, которые хар-ются разнообразными структурами лагов; 2)при относительно небольшом кол-ве переменных в (5) с пом метода Алмон м. построить модели с распред-ым лагом любой длины.

50. Изучение структуры лага и выбор вида модели с распределенным лагом. Метод Койка

Используется модель с бесконечным лагом вида: y_t=а+b_ox_t+b₁x_t-1+b₂x_t-2+...+_t (1).Очевидно, что пар-ры такой модели обычным МНК или с пом др стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Однако, приняв определенные допущения относительно стр-ры лага, оценки ее пар-ов все же можно получить. Эти допущения состоят в наличии геометрической стр-ры лага, т.е. такой стр-ры, когда воздействия лаговых значений фактора на рез-тат уменьшаются с увеличением вел-ны лага в геом прогрессии. На рис. геометрической структуре лага соответствует вариант б. Подход к оценке пар-ров моделей с распределенным лагом типа (1) впервые был предложен Л.М. Койком. Он предположил, что существует некоторый постоянный темп  (0<<1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на рез-т. Если, например, в период t рез-т изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b₀ ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t-1), рез-тат изменится на b₀*, ед.; в период (t-2) — на b₀*λ*λ=b₀*λ² ед. и т.д. Для некоторого периода (t–l) это изменение резу-та составит: b₀*λ^l ед. В более общем виде можно записать: b_j=b₀*λ^j; j=0,l,2,..., 0<λ<1. (2). Ограничение на значения λ>0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэф-тов b_j>0, а λ<1 означает, что с увеличением лага значения пар-ов (1) убывают в геом прогрессии. Чем ближе λ к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на рез-тат во времени и тем большая доля воздействия на рез-т приходится на текущие значения фактора x_t. Выразим с пом (2) все коэф-ты b_j в (1) через b₀ и λ: у_t=а + b₀x_t + b₀λx_t–1 + b₀λ²x_t–2 +…+ε _t. Тогда для периода (t–1) эта модель примет вид: у_t–1= а + b₀x_t–1 + b₀λx_t–2 + b₀λ²x_t–3 +…+ ε _t–1. Умножим обе части этого уравнения на λ, получим: λу_t–1 = λа + b₀λx_t–1 + b₀λ²x_t–2 + b₀λ³x_t–3 +…+ λε _t–1. Вычтем найденное соотношение из соотношения для y_t: y_t–λy_t–1 = a–λa + b₀x_t + ε_t – λε _t–1. В рез-те этих преобразований получаем модель Койка: y_t = a(1–λ) + b₀x_t + (1–λ)y_t–1u_t, где u_t=ε _t–λε _t–1— это модель двухфакторной линейной авторегрессии. Определив ее пар-ры, найдем λ и оценки пар-ров а и b₀ исходной модели. Далее с пом (2) несложно определить пар-ры b₁,b₂,... модели (1). Описанный выше алгоритм получил название «преобразования Койка». Оно позволяет перейти от модели с бесконечными распр-ыми лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные х_t и y_{t – 1}.