47. Модели arima. Идентификация модели и оценивание пар-ров.

Пусть X_t — нестац-ный процесс со стац-ными разностями d-го порядка, т.е. Y_t=^dX_t - стац процесс, а ^d-1X_t — нестац, т.е X_t - интегрируем d-го порядка.

Если Y_t уже стац-ый (процесс ARMA(p, q)), т.е. (1) тогда X_t называется процессом ARIMA(p,d,q), т.е интегр-мым авторегрессионным процессом скользящего среднего, где p-порядок авторегр-ого процесса, q-порядок max лага для скольз среднего, d-порядок интегр-ти. Зам: Свободный член φ₀ приравнивается к нулю (опускается). Большинство эмпирических ВР можно считать реализациями процессов ARIMA. Основная задача в анализе ВР — специфицировать порядок модели ARIMA(p,d,q), т.е определить пар-ры p,d,q по св-вам ВР и оценить пар-ры ур-ния модели и дисперсию остатков. Идентификация модели и оценивание параметров. Моделирование состоит из следующих шагов. Шаг 1. Диагностика, т.е. проверка ВР на стац-ть, условие эргодичности: – анализ графика ВР; – Тест на единичный корень; – В случае нестационарности - взятие разностей и повтор тестов; – Оценивание автокорреляционной ф-ции (ACF). Шаг 2. Выбор типов возможных процессов, сгенерировавших этот ВР (идентификация модели). В рез-те д.б. получены три осн пар-ра: d — порядок интегр-ти, р и q — порядки компонент AR и МА соотв-но. Пар-р d легко определяется как кол-во взятых разностей, необходимое для получения стац-ого процесса. В случае сомнений следует выбирать модели с наименьшим возможным числом пар-ров. Шаг 3. Оценивание пар-ров для всех возможных модели подходящими статистическими методами: – обычный МНК; – метод максимального правдоподобия (МПМ); – метод минимизации квадратов ошибок прогноза. Шаг 4. Выбор наиболее подходящей модели среди оцененных: – анализ остатков, которые д. иметь св-ва белого шума; – рассмотрение модели, наилучшим образом воспроизводящей конкретный ВР, и ее наиболее экономичною с точки зрения кол-ва пар-ров. При сравнении различных моделей для одного и того же ВР имеем дело с несколькими конкурирующими целями: 1. для МНК — минимизация дисперсии ошибок и минимизация числа пар-ров модели; 2. для МПМ — максимизация ф-ции правдоподобия при минимизация числа пар-ров модели. Обычно оцениваемая модель лучше соотв-ет ВР при более высоких порядках p и q модели ARMA, но это приводит к усложнению модели. Для нахождения ком­промисса используются информационный критерий Акаики и критерий Шварца. Кр. Акаики:

где _a²— дисперсия ошибок; l_max(T,p,q) — логарифмическая функция правдоподобия модели ARMA с коэф-ами р и q соотв-но. Кр. Шварца:

48.Общая хар-ка моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии. Интерпретация пар-ов моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии.

М. выделить два основных типа динамических эконометрических моделей: 1)модели авторегрессии; 2)модели с распределенным лагом. Для этих моделей знач-ия переменной за прошлые периоды времени непосредственно включены в модель. В эти модели включены переменные, хар-ющие ожидаемый или желаемый уровень рез-та, или один из факторов в момент времени t. При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака y_t в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов t–1, t-2,..., t–l. Эконометрическое моделирование осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели наз моделями с распределенным лагом. Прим: . Наряду с лаговыми знач-ями незав-ых переменных на вел-ну зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей с авторегрессией: . Интерпретация пар-ов моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии. Рассмотрим модель с распр лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна и равна l: Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение незав-ой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение p следующих моментов времени. Коэф-т регрессии b₀ хар-ет среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на одну единицу в данный фиксированный момент t, поэтому его наз краткосрочным мультипликатором. Введем обозначения β_j = b_j / b, j=0,1,2… β_j – относительные коэф-ты модели с распр лагом. Для любого у 0 < β_j <1 и ∑ β_j=1. В этом случае _j явл весами для соотв-щих коэф-ов b_j.Используя _j можно определить дополнит хар-ки: 1)вел-ну среднего лага: и представляет собой средний период, в теч кот-ого будет происходить изменение рез-та под воздействием изменения фактора в момент времени t. 2)Медианного лага — это вел-на лага l_Me, для кот ∑ β_j≈0,5. Это период времени, в теч кот с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на рез-т.

Обратимся теперь к модели авторегрессии: . Вел-на b_o хар-ет краткосрочное изменение y_t под воздействием изменения x_t на 1 ед. Общие абсолютные изменения рез-та в момент t+1 составит b₀с₁ единиц, в (t+2) – b₀с₁² ед и т.д. След-но b = b₀ + b₀ c_l + b₀ c_l² + b₀ с_l³+... Для реализации стабильности ур-ия y_t очевидно необх-мо |с₁|<1. Тогда учитывая св-во суммы бескон геом прогрессии получим b=b₀/(1-c₁). Данная интерпитация предполагает наличие бесконечного лага.