1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.

2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда

а) f(1)=1 и f(а^-1)=(f(а))^-1

б) Ker f – подгруппа группы G1

в) Im f - подгруппа группы G2

г) f - мономорфизм тогда и только тогда, когда Ker f = {е₁};

д) f - эпиморфизм тогда и только тогда, когда Im f = G2

е) если f – изоморфизм, то f ^-1 : G2®G1 также изоморфизм.

3. Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).

Примеры гомоморфизмов групп:

• Пусть G – произвольная группа, аÎG – фиксированный элемент. Отображение группы G в себя определено формулой x®axa^-1 для любого хÎG. Заданное отображение - автоморфизм группы G, называемый внутренний.

• Отображение j: (R,+) ®(R⁺, ×), заданное формулой j(x)=a, где а – фиксированный элемент из множества R\{1}, является изоморфизмом между аддитивной и мультипликативной группами, причем обратным к нему служит изоморфизм j^-1: (R⁺, ×) ®(R, +), j^-1(х)=log x.

Определение 1.8. Алгебра (К, +, ∙) – кольцо, если

1. (К, +) – абелева группа.

2. (К, ∙ ) – полугруппа.

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Кольцо с единицей (т.е. нейтральным элементом относительно умножения) называется унитарным. Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным.

Свойства колец:

I. Так как (К, +)- абелева группа, то справедливы все свойства групп.

II. Характеристические свойства:

1. 0 ∙ а = а ∙ 0 = 0 (нуль является поглощающим элементом).

2. Правило знаков: (-а) ∙ в = (-а в); а (-в) = (-а в); (-а) (-в) = ав.

3. ("a, b ÎК) а (в - с) = ав – ас дистрибутивность умножения

(в - с) а = ва –са относительно вычитания

Пусть К – коммутативное кольцо с единицей. В кольце К можно определить отношение делимости.

Определение 1.9. а в $qÎK, что а = в·q

Определение 1.10. Элемент ε кольца К называется обратимым, если в кольце К существует такой элемент ε₁, что ε · ε₁ = е.

Свойство: а в ε – обратим в кольце К Þ а вε

Критерий подкольца: Непустое подмножество S кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда:

1. ("а, вÎS) а + в Î S │ или ("а, вÎS)

2. ("а ÎS) -а Î S │ 1) а - в Î S

3. ("а, вÎS) а · в Î S │ 2) а · в Î S

Определение 1.11. Кольцо К называется областью целостности, если в нем нет делителей нуля (т.е. если ав = 0 , то а = 0 в = 0).

Любое числовое кольцо является областью целостности.

Элементы кольца называются ассоциированными, если а в в а.

Определение 1.12. Пусть имеется два кольца (К₁, +, ∙) и (К₂, ).

Отображение ƒ: К1®К2 называется гомоморфизмом колец, если:

1) ƒ (а+в)= ƒ (а) ƒ (в); 2) ƒ(а·в) = ƒ(а) ƒ(в).

Гомоморфное взаимно однозначное отображение кольца К₁ на кольцо К₂ называют изоморфизмом колец.

Так как кольцо является группой, то для колец справедливы все свойства гомоморфизма групп.

Теорема 1.4. Гомоморфный образ кольца является кольцом.

Определение 1.13. Множество элементов кольца К1, переходящее при гомоморфизме ƒ в нуль кольца К2 называется ядром гомоморфизма.

Определение 1.14. Алгебра (Р, +, ∙ ) – поле, если

1. (Р, +) – абелева группа.

2. (Р\{0}, ∙ ) – абелева группа.

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Простейшие свойства поля:

1. Так как поле является кольцом, то для него справедливы все свойства колец.

2. Свойства, специфические для полей:

а) В поле не существует делителей нуля;

В поле можно ввести операцию деления:

б) –а = (-1) · а; в) ; г) ;

д) ;

е) Критерий равенства дробей ;

ж) ;

з) ас = вс с ≠ 0 а = в; и) ав = 1 а ≠ 0 в = а^-1

к) ав = 0 а = 0 в = 0; л) .

Критерий подполя: Непустое подмножество S поля Р является подполем поля Р тогда и только тогда, когда:

1. ("а, вÎ S) а + в Î S; 2) ("а, вÎ S) а · в Î S;

3) ($а ÎS) -а Î S; 4) ($а ÎS) а^-1 Î S.

Определение 1.15. Пусть (Р₁, +, ∙ ), (Р₂, +, ∙ ) – два поля.

Отображение ƒ : Р1®Р2 называется гомоморфизмом полей, если:

1) ƒ (а+в)= ƒ (а) + ƒ (в); 2) ƒ(а·в) = ƒ(а) · ƒ(в)

Теорема 1.5. Гомоморфный образ поля является полем.

Числовое поле – множество, содержащее не менее 2-х элементов, которое замкнуто относительно действий + , - , · , : .

Наименьшее числовое поле – поле рациональных чисел. Доказать!