19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.

Последняя формула называется формулой Коши-Адамара.

Ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной или двучлена (где - постоянная), умноженные на числовые коэффициенты: , (1)

или , (2)

называются степенными рядами.

Члены степенных рядов являются непрерывными и дифференцируемыми функциями на всей вещественной оси. Все последующие рассуждения будут проводиться для рядов вида (1); ряды (2) вида приводятся к ряда (1) заменой переменной .

Теорема 1. (Абель). Дан степенной ряд .

Если степенной ряд (1) сходится для некоторого значения , то он сходится и притом абсолютно для всех значений таких, что ;

Доказательство: По условию ряд . Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство , .

Пусть , тогда величина и, следовательно, ,

Т.е. модуль каждого члена ряда (1) не превосходит соответствующего члена сходящегося ( ) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (1) абсолютно сходящийся.

Следствие. Если ряд (1) расходится для некоторого значения , то он расходится и для всех значений таких, что .

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (1) расходится.

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде . Число называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. - это такое число, что при всех , для которых , ряд (1) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рис.).

В частности, когда ряд (1) сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же ряд (1) сходится при всех значениях (т.е. во всех точках числовой оси), то считаем, что . При и при сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (1) необходимо: Составить ряд из модулей членом данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых ;

ряд, составленный из модулей членов ряда (1), расходится при тех значениях , для которых . Т.о., для ряда (1) радиус абсолютной сходимости

. (2)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что . (3)

Свойства степенных рядов.

1. Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда (4) при выполняется равенство (5).

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (4) при выполняется равенство

(6)

Ряды (6), (5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Эти свойства остаются справедливыми и для ряда вида (2).

Пусть - комплексная переменная и - фиксированное комплексное число. Ряд с переменными членами вида . (7)

где - комплексные числа, также как и в вещественном случае, называется степенным рядом. Достаточно ограничиться степенным рядом вида

. (8)

Теорема 1 Абеля: Дан степенной ряд ;

1. если он сходится при некотором значении , то он сходится и при том абсолютно при всех значениях таких, что ;

Следствие: Если он расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях таких, что .

Теорема 2: Для каждого степенного ряда , который имеет точки сходимости, отличные от точки , и имеет точки расходимости, существует число , такое, что

1. ряд абсолютно сходится для ;

2. ряд расходится для

Число называется радиусом сходимости степенного ряда.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно также использовать признак абсолютной сходимости Даламбера, который, как указывалось выше, справедлив и в комплексной области. Тогда, если существует конечный предел , то радиус сходимости этого ряда получается по формуле . Если , то степенной ряд сходится при любом значении .