- •Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- •Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- •1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- •2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- •Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- •Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- •Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- •5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- •6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- •7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- •8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- •12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- •14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- •15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- •18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- •19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- •20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- •21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- •23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- •Свойства счетных множеств
- •Графическое представление
- •5. Основные тождества алгебры множеств
- •Принципы математической индукции
- •Отображение отношения функции
- •24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- •25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- •26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- •27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- •29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •3) Двойственная задача.
- •30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.
12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Определение. Пусть даны две переменные х и у. Переменная у называется функцией от переменной х, если каждому значению х из области его изменения ставится в соответствие по некоторому закону определенное значение у. Переменная х называется в этом случае аргументом функции у.
Пусть каждому натуральному числу n сопоставлено вещественное число, обозначенное xn. Тем самым нам заданы некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: х1 имеет номер 1, х2— номер 2, и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность x1, x2, x3,…, xn.
Числа, составляющие последовательность, называются ее членами, а хn — общим или n-м членом последовательности.
Определение. Число а называется пределом числовой последовательности x1, x2, x3,…, xn, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство .
Арифметические свойства пределов:
Если переменная хn имеет пределом число а, и а больше некоторого числа b, то значения переменной, начиная с некоторого n, будут также больше этого числа b.
Если переменная хn имеет пределом а, и а меньше некоторого числа с, то значения этой переменной, начиная с некоторого n, будут также меньше этого числа с.
Если переменная имеет предел, то он единственный. Иначе говоря, переменная не может иметь двух различных пределов.
Если имеем две переменные величины хn и уn, имеющие пределами соответственно числа а и b, причем хn = уn для всех n, то а = b.
Если переменные хn и уn имеют своими пределами соответственно числа а и b, причем хn ≤ уn для всех n, то a ≤ b.
Пусть имеем три переменные хn, уn и zn, связанные неравенствами хn ≤ уn ≤ zn для всех n. Тогда если переменные хn и zn имеют один и тот же предел а, то переменная уn также имеет предел и этот предел равен а.
Если множество значений переменной хn, начиная с некоторого значения n, ограничено, то хn является ограниченной величиной.
Если переменная хn имеет конечный предел, то она ограничена.
Определение Даны три переменные величины х, у и z. Если каждой паре значений независимых переменных х и у из области их изменения соответствует по некоторому закону определенное значение переменной z, то переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у. Обозначение функции двух переменных следующее: z = f(х, у)
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса об ограниченности функции). Если функция f(x, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области (D), то f(x, у) ограничена в области (D).
13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .
Теорема: Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где - постоянное число.
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие действия.
1. С помощью точек разобьем отрезок на частичных отрезков .
2. В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точка и вычислим значение функции в ней, то есть величину .
3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: .
4. Составим сумму всех таких произведений:
(1)
Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: ( ).
5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что .
Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,
. (2)
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - областью (отрезком) интегрирования.
Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.
Теорема (Коши): Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Непрерывность функции является достаточным условием интегрируемости.
Свойства, вытекающие из определения определенного интеграла:
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: . Интегральная сумма и ее предел не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .
3. Для любого действительного числа : .
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция интегрируема на отрезке .
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на ( ), то имеет место формула (3).
Доказательство:
Разобьем отрезок точками на частичных отрезков как показано на рисунке.
Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа . Получим
, т.е. , (2)
где некоторая точка интервала . Так как функция непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от на .
Переходя в равенстве (2) к пределу при , получаем , т.е. . Доказано.
Основные свойства определенного интеграла.
Пусть функция интегрируема на отрезке .
1. Если - постоянное число и функция интегрируема на отрезке , то .
2. Если функции и интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и , т.е интеграл от суммы равен сумме интегралов.
3. .
.
4. Если функция интегрируема на отрезке и , то , то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.
5. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что . - называется средним значением функции на отрезке .
6. Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке , то .
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , можно интегрировать. Так, если при , то .
8. Оценка интеграла. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то
.
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: ; .
10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть .
Док-во. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: . Следовательно, . Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Необходимое условие интегрируемости. Если функция является интегрируемой на ограничена на .
Вычисления определенного интеграла: (на примерах)
Формула Ньютона-Лейбница..
Интегрирования подстановкой (заменой переменных).
Интегрирования по частям.