7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.

Известно, что х² + а = 0 – данное уравнение не имеет решений в R при а > 0, в частности неразрешимо уравнение х² + 1 = 0. Можно построить такое расширение поля R, в котором содержится хотя бы 1 элемент, удовлетворяющий уравнению х² + 1 = 0.

Б удем называть полем комплексных чисел любое поле С, для которого выполняются 3 условия:

1) поле С является расширением поля R.

2) некоторый элемент поля С удовлетворяет уравнению х² + 1 = 0, где 1 и 0 – нейтральные элементы поля относительно «» и «+».

3) всякое подполе поля С, удовлетворяющее условиям 1 и 2, совпадает с полем С.

Построим некоторое поле комплексных чисел и убедимся, что такие поля существуют. .

Введем операции «+» и «» на этом множестве следующим образом:

. Множество (С,+, ) – поле.

Нейтральный элемент – это пара (0,0)=0 относительно сложения, относительно умножения 1=(1,0).

Пример: , .

Обратный элемент к паре : .

Назовем построенное нами поле, полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.

Введем обозначения: , , .

- называют мнимой единицей.

.

- алгебраическая форма комплексного числа.

- действительная часть комплексного числа.

- мнимая часть.

. - действительная часть, - мнимая часть ( – коэф мнимой части).

Операции над комплексными числами в алгебраической форме:

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

Пример:

Сопряженные числа.

- сопряженное комплексному числу . .

Свойства сопряженных чисел:

1. .

2. .

3. . Доказательство: Пусть , .

4. .

5. .

6. .

Число является противоположным к , т.е. .

Число ( ) называется обратным для обозначается .

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Каждому числу поставим в соответствие точку с абсциссой и ординатой и эта точка называется точкой, изображающей число .

Также геометрической формой комплексного числа служит радиус-вектор .

Представление геометрически операции над комплексными числами.

Положение точки на плоскости может определяться заданием ее полярных координат: полярный радиус и полярный угол.

Такая система задания точки на плоскости получила название полярной системы координат.

Модулем комплексного числа называется . , . Геометрический смысл: Это расстояние от точки О до точки М или длина вектора ОМ.

Для любых комплексных чисел и справедливы следующие свойства:

Аргументом комплексного числа называется число , такое, что

Угол может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные, причем положительные углы должны отсчитываться против часовой стрелки. Однако, если углы отличаются друг от друга на или число, кратное , то соответствующие им точки плоскости совпадают. Т.о. аргумент комплексного числа имеет много значений, отличающихся друг от друга на целое кратные числа .

Теорема (О представлении комплексного числа в тригонометрической форме).

Каждое комплексное число можно представить в виде: , где , , , - аргумент комплексного числа . Выражение комплексного числа в данном виде называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Теорема:

1. Пусть , . Тогда

.

2. .

Из теоремы можно привести равенство: |z₁z₂| = |z₁||z₂| = r₁r₂, arg(z₁z₂) = argz₁ + argz₂ и |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| = r₁/r₂, arg(z₁/z₂) = argz₁ - argz₂.

Степенью комплексного числа называется .

Пример:

Теорема (о степени комплексного числа в тригонометрической форме). При возведении комплексного числа в степень, модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент комплексного числа умножается на показатель степени.

- 1-я формула Муавра.

- 2-я формула Муавра (частный случай к первой формуле).

1. При левая часть: , правая часть: . 1=1 формула справедлива.

2. При левая часть: , правая часть: . формула справедлива.

3. ( ). Воспользуемся ММИ.

1. Базис индукции.

(доказано, см. пункт 2)

2. Индукционный шаг: Пусть формула Муавра выполняется для ,

. Докажем, что она выполняется для

В правой части получили то, что требовалось доказать. Согласно ММИ данная формула верна ( ).

4. Рассмотрим .

Из пунктов 1-4 формула справедлива

Извлечение корней. Комплексное число называется корнем -й степени из комплексного числа , если , , .

Теорема о корне -й степени из комплексного числа. Корень -й степени из комплексного числа имеет ровно значений; если задано в тригонометрической форме. , то всеми значениями корня -й степени будут числа

, , - арифметический корень.

Геометрическая интерпретация .

Пусть , . Корнем -й степени из 1 называется такое комплексное число , -я степень которого = 1 ( ).

Теорема: Существует точно -различных корней и все они получаются по формуле:

, .

Свойства корней :

1. Множество значений замкнуто относительно умножения и деления. Множество всех значений относительно операции умножения является группой.

2. Число , являющееся значением называется первообразным корнем , если его степени различны между собой. Это означает, что они являются всеми значениями .

Пример: