44.Таблица интегралов.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	10. ;

45.Метод подведения под знак дифференциала в неопределенном интеграле. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

.Этот метод применяется для сведения интеграла к табличному путем замены какой нибудь части подинтегрального выражения его дифференциалом.

46.Метод подстановки. Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

1. . Если применить замену ; , то получим:

.

2. . Применим замену ; . В результате получим:

.

3. Как и в предыдущем случае, применим замену ; . В результате получим:

.

4. . Интегрирование этого выражения будет проведено позднее при подробном рассмотрении метода замены переменных.

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

5. 

.

47.Интеграл, содержащий квадратный трехчлен.1. ,2. ; 3. ; 4. . Для их нахождения нужно 1)выделить полный квадрат двучлена, основание двучлена обозначить через t, а интегралы вида 1 и 3 –будут табличные, а 2 и 4 – следует разбить на сумму двух интегралов, один из которых будет табличным, а другой берется подстановкой или подведением под знак дифференциала.

48.Интегрирование по частям.

Если функции и дифференцируемы на множестве и, кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем .

Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

,

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

.

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и дифференциал . Таким образом, выбор функций и неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла.

Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени , то операцию интегрирования по частям придется повторять раз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , a также, полином й степени :

.

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять раз, причем в качестве функции нужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида:

; ; .

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

,

где исходный интеграл;

постоянная .

В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для , из решения которого находится исходный интеграл :

.

Причем, метод интегрирования по частям может применяться многократно и любой из сомножителей можно всякий раз принимать за .

Большое количество интегралов, не входящих в эти три группы, у которых невозможно выделить общий признак для группировки, также вычисляются методом интегрирования по частям. К таким интегралам можно отнести:

, , , ,

49. Интегрирование рациональных функций. Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , где и – многочлены степени и , соответственно. Рациональная дробь называется правильной при . В противном случае, когда , рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида: и .

Интегралы вида вычисляются следующим образом:

• ;

• ;

Для вычисления интегралов вида применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

• 

;

• 

Обозначим через , тогда . Введем новую переменную , тогда , .

; .

.

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла .

Зная с точностью до константы интеграл можно вычислить :

.

Используя полученный результат, можно вычислить :

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального .