Производная обратной функции

Пусть функция задана на множестве , а – множество ее значений. Тогда каждому ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому будет соответствовать одно или несколько значений . В случае, когда отображение является биективным, т.е. каждому значению соответствует только одно значение , для которого , на множестве можно определить функцию , множеством значений которой является , которая будет называться обратной по отношению к функции . Функции и называются взаимообратными.

Пусть функция удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точке имеет конечную производную . Тогда обратная функция в точке также имеет конечную производную, равную .

29.Дифференциал функции и его основные свойства.

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее приращение представимо в виде:

.

Величина при малых мала по сравнению с величиной . Поэтому представляет собой главную часть приращения , называемую дифференциалом функции в точке . Дифференциал функции обозначают обычно символами: и др.

Если ‑ независимая переменная, то и поэтому .

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 ‑ 6 дифференцирования с заменой символа  (штрих) на символ . Например:

;

.

Таким образом, приращение функции в точке при малых значениях приблизительно в пять раз больше, чем , а приращение функции в точке приблизительно в 14 раз больше, чем .

30. Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке , т.е. существует , и всюду в некоторой окрестности этой точки , т.е. является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то _.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется точка для которой .

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда .

Теорема Коши. Если функции и определены и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при этом , то найдется точка _, для которой .

31.Правило Лопиталя.

Пусть и - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или (если , то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь луч ; если , то окрестность – луч ). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть при .

I правило. Если:

1. 

2. Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .

II правило. Если:

1. ;

2. Существует конечный или бесконечный предел Тогда: .

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или . Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: . Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида или .

32.Исследование на монотонность. Точки экстремума. . Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых точек и из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия следует .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда .

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании при переходе через стационарную точку производная меняет знак с + на ‑ , то ‑ точка локального максимума. Если меняет знак с ‑ на + , то ‑ точка локального минимума функции . Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то ‑ точка локального минимума функции . Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то ‑ точка локального максимума функции .

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Глобальный экстремум.Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.

• Находят стационарные точки функции;

• Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;

• Вычисляют значения:

‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и ‑ глобальные экстремальные значения.

33.Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами . График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то ‑ точка перегиба графика функции .

II правило. Если и , то является точкой перегиба графика функции .

34.Ассимптоты. Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

.

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т.е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .