50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:

приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где наибольшее общее кратное показателей корней .

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:

.

В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае, наибольшее общее кратное показателей корней .

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

• Если , то ;

• Если , то ;

• Если ,

то .

Здесь - новая переменная.

Интеграл находится подстановкой _.

Интеграл находится подстановкой _.

Интеграл находится подстановкой _.

Пример: Вычислить .

Применим подстановку Эйлера . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим . Дифференцируя обе части полученного выражения, получим . Отсюда , или . Таким образом, . Поскольку , то . Следовательно, .

51-52. Интегрирование тригонометрических функций. Интеграл , где - рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки . При этом:

.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку .

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению _.

Если _, можно использовать подстановку .

Если , то можно использовать подстановку .

53.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы.Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение. Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство , т.е. .

Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.

В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции .

О бозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .

Определение: Суммы:

и

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

2. Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .

3. Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .

4. Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

5. Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом .

54. Свойства определенного интеграла. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):

.

1. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

2. Пусть функции и интегрируемы на сегменте , тогда функции , и также интегрируемы на этом сегменте, причем:

.

3. Если функция интегрируема на сегменте , то функция ( =const) интегрируема на этом сегменте, причем:

.

4. Если функция интегрируема на сегменте , то эта функция интегрируема на любом сегменте , содержащемся в сегменте .

5. Пусть функция интегрируема на сегментах и . Тогда эта функция интегрируема на сегменте , причем:

.

55.Формула Ньютона-Лейбница. Из этих равенств вытекает соотношение:

,

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на отрезке ;

2) отрезок является множеством значений некоторой функции , определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) , .

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и , то эту формулу можно записать следующим образом:

.

56.Замена переменной в определенном интеграле.Теорема:Если функция f(x) непрерывна на[a;b],а x= (t) непрерывна на отрезке вместе со своей x'(t)= '(t) на [α;β],где x(α)= (α)=a,x(β)= (β)=b, то

57.Вычисление площади плоских фигур. Определение: Плоская фигура – часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой , при этом кривая называется границей фигуры .

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры

Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади , т. е. .

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .

Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше , .

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции , ординатами, проведенными в точках и , и отрезком оси между точками и .

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:

.