- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
17.Бесконечно малые функции и их свойства.
Функция называется бесконечно малой при (или , или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число ( ), что для всех будет верно неравенство .
При ( ) функция называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .
Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е. .
Теорема: Если функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: .
Справедлива также и обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа и бесконечно малой величины : то число является пределом этой функции при указанных условиях.
Свойства бесконечно малых величин:
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;
Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно мала.
18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
Функция называется бесконечно большой при (или , или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число ( ), что для всех будет верно неравенство .
При ( ) функция называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .
Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. .
Свойства бесконечно больших величин:
Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;
Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.
Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при ( ) то функция есть бесконечно большая величина при ( ).
Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при ( ) то функция есть бесконечно малая величина при ( ).
Сравнение бесконечно малых величин:
Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. ;
Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е. ;
Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е. ;
Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е.