- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
14.Пределы числовой последовательности.
. Рассмотрим последовательность с общим членом Хn=n-1/n. Зная формулу общего члена, запишем члены последовательности: Х1=1-1/1=0 и т.д. Предел(Lim) Xn= lim n-1/n=1 (n стремится к бесконечности). О1:Число А называется пределом числовой последовательности {Хn}, если для любого Е>0(сколь угодно малого) найдется N, зависящий от Е(N(E) ) такой, что для всех n>N будет выполнятся неравенство /Хn- A/<E.
15. Предел функции. Теорема Гейне.Рассмотрим функцию , определенную на множестве . Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел , все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые в не входят.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.
Функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при .
Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.
Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.
Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей , стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности , если существует предел соответствующих последовательностей , то этот предел единственен.
Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая предел при , ограничена в некоторой окрестности точки . Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.
Пределы обладают следующими свойствами:
Если – есть постоянная функция, то ;
Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда ;
Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;
Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;
Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии);
Если и существуют , и , то .
16. Односторонние пределы.В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что , то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке . Если же считать, что и , то получают односторонний предел слева или левосторонний предел.
Так, например, односторонние пределы функции , изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: и .
Правосторонний предел обозначают символом , левосторонний ‑ символом . Таким образом:
.
В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .
Для того, чтобы у функции в точке существовал двусторонний предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и функции в точке , и эти пределы были равны между собой: .