19. Основные теоремы о пределах.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где – постоянная; – бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то ;

4. При любых постоянных и ;

5. _;

6. Если , и , то ;

7. Если , то ;

8. Если и , то ;

9. Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

• возрастающей, если ;

• строго возрастающей, если ;

• убывающей, если ;

• строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

20. Первый замечательный предел.

Покажем, что

Д ля простоты примем, что (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины и с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.Площади треугольников , и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда , и после деления на , получим , а для обратных величин . Так как при последовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности , справедливо равенство .

21. Второй замечательный предел.

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что , а . Тогда:

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же , а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел:

,

который обозначается (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

22.Неприрывность функций в точке. Рассмотрим функцию , определенную на промежутке Пусть . Функция называется непрерывной в точке , если

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.