- •1.Кольцо многочленов от переменных. Теорема 1. Теорема 2 (с док-вом). Примеры.
- •2.Лексикографическое упорядочение многочленов. Теорема (с док-вом). Примеры.
- •3.Смметрические многочлены. Основные симметрические многочлены. Теоремы 1. Теорема 2 (с док-вом).
- •4.Основная теорема о симметрических многочленах (с док-вом).
- •5.Следствие из основной теоремы о симметрических многочленах (с док-вом).
- •6.Степенная сумма. Применения основных симметрических многочленов от 2-х переменных.
- •7.Возвратные уравнения. Методы их решения.
- •8.Результант 2-х многочленов от одной переменной. Теорема 1 (с док-вом).
- •9.Резултант в форме Сильвестра. Теорема 2 (с док-вом)
- •10.Решение систем алгебраических уравнений с помощью результанта. Теорема (с док-вом).
- •12.Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема о существовании неприводимого многочлена (с док-вом).
- •13.Теорема о комплексном числе, являющимся алгебраическим числом 1-й степени (с док-вом).
- •14.Теорема об изоморфизме фактор-кольцу (с док-вом).
- •15.Теорема об изоморфизме и (с док-вом).
- •16.Строение простого алгебраического расширения. Теорема об освобождении от иррациональности в знаменателе (с док-вом).
- •17.Теорема о представлении (с док-вом).
- •18.Теорема о как линейном n-мерном пространстве (с док-вом).
- •19.Теорема об алгебраическом расширении поля (с док-вом).
- •20.Строение простого трансцендентного расширения поля . Теорема (с док-вом).
- •21.Составное алгебраическое расширение поля . Теорема 1 (с док-вом).
- •22.Следствия 1 и 2 из теоремы о составном алгебраическом расширении поля (с док-вом).
- •23.Теорема о примитивном элементе (с док-вом).
- •24.Поле алгебраических чисел. Теорема 1 (с док-вом).
- •25.Теорема об алгебраической замкнутости поля алгебраических чисел (с док-вом).
- •26.Кольцо целых алгебраических чисел. Теорема (с док-вом).
- •27.Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах.
- •28.Область рациональности. Теорема (с док-вом).
- •29.Разрешимость кубических уравнений в квадратных радикалах. Теорема (без док-ва), следствие.
- •30.Примеры задач, неразрешимых с помощью циркуля и линейки. Задача об удвоении куба.
- •31.Примеры задач, неразрешимых с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции угла.
17.Теорема о представлении (с док-вом).
Т. Если примитивный элемент явл. алгебр. числом –й степени относительно поля , то для ∀ значений , которое полю часных степени не выше чем , такой что , и это представление для - единственное. Док.: Т.к. – алгебр. число –й степени, то многочл. ( многочл.) степень которого ровна для которого корень. следовательно , где степень но следовательно степень многочл. , т.е. тогда при (*). Покажем что представление (*) единственно для . От противного:
-
(1)
следовательно корень многочл. (1) со степенью , что противоречит таму, что алгебр. число –й степени.⊠
18.Теорема о как линейном n-мерном пространстве (с док-вом).
Опр. множество назыв. линейным (векторным) пространством над полем , если выполняются след. условия: 1) на определена бинарная операция сложения; 2) явл. абелевой, аддитивной группой; 3) на определено умножение вектора на скаляр; 4) умножение вектора на скаляр ассоциативно; 5) выполн. закон дистрибутивности; 6) нейтральный элемент по умножению. Т. Если примитивный элемент явл. алгебр. числом относительно поля , то поле часности явл. линейным –мерным пространством над данным полем и числа образуют его базис. Док.: Т.к. – поле, то образует аббелеву группу по сложению, кроме этого , то определено умножение чисел из поля на элементы , следовательно выполн. след. условия: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Следовательно явл. линейным пространством над полем . , т.е. элемент явл. линейной комбинацией системы векторов (*). Покажем что система (*) ЛНЗ. От потивного. Пусть (*) - ЛЗ, т.е. где , то , причем не все из равны 0. Следовательно явл. корнем некоторого многочл. над степени ниже чем . Получили противоречие, следовательно (*) – ЛНЗ.⊠
19.Теорема об алгебраическом расширении поля (с док-вом).
Опр. Расширением поля назыв. алгебр., если ∀ элемент из явл. алгебр. относительно поля . Т. Если примитивный элемент явл алгебр. числом –й степени относительно поля , то простое алгебр. расширение поля явл. алгебр. расширением поля . Док.: и покажем что он будет алгебр. числом относительно . Тем самым будем доказано что состоит только из алгебр. чисел и значит . Из теоремы 3 следует, что явл. –мерным линейным пространством над полем , это означает что ∀ 1 векторы явл. ЛЗ, т.е. будет зависимой . – ЛЗ, это означает что в поле найдутся числа не все из которых равны 0. Будет выполн.: , а это говорит, что явл. корнем некоторого многочл. ,следовательно - алгебр. число линейного –мерного пространства, следовательно - состоит только из алгебр. чисел.⊠
20.Строение простого трансцендентного расширения поля . Теорема (с док-вом).
Пусть (примитивный элемент) явл. трансценд. числом относительно , тогда есть множество элементов вида: . Данное есть простое трансценд. расширение поля , . В данном случае нельзя освободится от иррациональности в знаменателе, т.е. если трансценд. число, то теорема 1 в этом случае не верна. Опр. Расширение поля назыв. трансценд., если ∀ элемент из ∉ явл. трансценд. относительно поля . Т. Если примитивный элемент явл. трансценд. числом относительно то простое трансценд. расширение поля явл. трансценд. расширением поля . Док.: ? Возьмем ∀ (*) и покажем что (*) явл. трансценд. числами относительно . От противного. Пусть явл. алгебр. числом –й степени относительно , тогда ∃ над полем , для которого этот элемент явл. корнем, . В последнем равенстве левую и правую части домножим на : . Получили противоречие. Следовательно явл. трансценд. числом, следовательно .⊠