26.Кольцо целых алгебраических чисел. Теорема (с док-вом).

Опр. Число назыв. целым алгебраическим числом (ц.а.ч.), если оно явл. корнем многочл. с целыми кофиц., нормированного, неприводимого над полем . Многочл. явл. многочл. для ц.а.ч. . Т. Пусть дано множество - всех ц.а.ч.. Это множество образует кольцо. Док.: Рассмотрим . Пусть , а . И пусть для , и для . И обозначим чила сопряженные с , а через числа сопряженные с . Составим 2 многочл. , . Если в переставить или , то от этого многочл. – не изменится, а это означает. что кофиц. многочл. явл. симметр. многочл. по двум систем. перемен. котор. явл. корнями многочл. и с целыми кофиц. и старшим кофиц. равный 1. По следствию из теоремы об основных симметрич. многочл. значения этих же кофиц. от корней многочл. кольцу целых чисел, т.е. явл. целыми числами. Старший кофиц. равен 1, поэтому все корни этого многочл. явл. ц.а.ч.. В часности - корни многочл. явл. ц.а.ч. следовательно . Аналогично показыв. что , а т.к. для чисел и , и явл. числовым множеством, то - кольцо.

27.Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах.

При решении задач на построение используются только циркуль и линейка. С помощью циркуля и линейки можно построить по заданным отрезкам и : 1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) (четвертый пропорциональный отрезок); 6) среднее геометрическое. Четыре этапа построения: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование. Методы решения задач на построение: 1) геометрический; 2) спряжение; 3) подобие; 4) параллельный перенос; 5) симметрия; 6) поворот, и т.д. Многие задачи на построение сводятся к нахождению корней уравнений. Квадратные радикалы. Рассмотрим уравнение (1) . Уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах над полем , если все его корни можно выразить через элементы поля , с помощью операций +,-, возведения в степень и извлечения корня. Абель доказал что не ∃ универсальной формулы решения в квадратных радикалах алгебр. уравнений степени больше 4. Глуа доказал критерий разрешимости уравнений в квадратных радикалах ∀ степени. Опр. Расширение поля назыв. квадрат., если , но .

28.Область рациональности. Теорема (с док-вом).

Опр. Областью рациональности назыв. множество чисел полученных из кофиц. уравнения (1) и системы рацион. чисел. с помощью 4 математ. операций +,-,*,/, кроме деления на 0. З! Каждое уравнение имеет свою область рациональности (обозначается ) и область рациональности явл. полем. Т. Корень уравнения (1) с комплексными кофиц. выраж. через квадратные радикалы , , . Док.: Необх.: Пусть выраж. через квадратные радикалы , тогда получается с помощью 4 арефмет. действия над радикалами из кофиц. (1) и рацион. чисел. Т.к. все расширению и - есть поле, то области рациональности. Дост.: Пусть . Т.к. выраж. через , то выражается через кофиц. уравнения (1) и через рацион. числа.⊠