16. Формула Байеса. Вероятность гипотезы.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,В3…, образующих полную группу.
Т.к. заранее неизвестно какое из этих событий наступает, то их называют гтпотетическими.
– ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОТНОСТИ
Произошло испытание, в результате которого появилось событие А. Проверим как изменились вероятности гипотез, при условии, что событие А уже наступило.
Т.е. будем искать условные вероятности. Р(В1/A), P(B2/A)….P(Bn/A)
P(AB) = P(B)*P(A/B)
P(AB) = P(A)*P(B/A)
P(AB1) = P(A)*P(B1/A) = P(B1)*P(A/B1)
P(B1/A)=
– ФОРМУЛА БАЙЕСА
Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появляется событие А.
Пример.
Детали попадают для проверки на стандартность у 1-му из 2-х контролеров. Вероятность того, что детальпопадет к 1-му = 0,6, а к 2-му = 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролером = 0,94, а 2-м =0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил 1-й контролер.
Событие А – признание детали стандартной
Событие В1 – проверил 1-й контролер
Событие В2 – проверил 2-й контролер
По условию:
Р(В1) = 0,6 Р(А/В1)=0,94 Р(В1/А)=
Р(В2) = 0,4 Р(А/В2)=0,98
Р(В1/А)
= 
- ответ
18. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (определение). Табличное представление закона распределения. Пример.
Нужно для указания закона распределения случайной величины указать возможные значения этой случайной величины и соответствующие им (этим значениям) вероятности. Обычно используют табличный закон распределения:
Возможные значения случайной величины (Х) |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
xn |
Вероятности значений (Р) |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
pn |
События того, что случайная величина принимает значение Х=х1, х2, …, хn, образуют полную группу событий. Тогда сумма вероятностей (р1+р2+...+рn) = 1.
Пример: В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 50 тыс.руб. и 10 выигрышей в 1000 руб. Найти закон распределения случайной величины Х, определяемой как стоимость возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Х |
50000 |
1000 |
0 |
Р |
0,01 |
0,1 |
0,89 |
Пояснение: владелец билета может выиграть либо 50 тыс., либо 1000, либо ничего (0). Это и будут значения случайной величины (Х).
Что касается вероятностей значений (Р): мы помним, что вероятность рассчитывается по формуле P=m/n, где m — число «успешных» исходов, а n - число всех исходов. Всего исходов у нас 100 (в любом случае), т. к. 100 лотерейных билетов.
Рассчитываем вероятность выигрыша в 50 тыс. Такой выигрыш всего лишь один (один благоприятный исход), следовательно, мы 1 делим на 100, равно 0,01.
Рассчитываем вероятность выигрыша в 1000. Таких выигрышей у нас 10, то есть мы 10 делим на 100, равно 0,1.
Рассчитываем вероятность того, что владелец ничего не выиграет. Надо сделать следующее: мы складываем 1 и 10 (это те билеты, по которым можно что-то выиграть, неважно, что именно), получаем 11. И из 100 (билеты всего) вычитаем 11 (те, по которым можно выиграть любую сумму), получаем 89. Таким образом, 89 (число благоприятных исходов для выигрыша «ничего») делим на 100 (число всех исходов), получаем 0,89.