- •1.Определения достоверного, невозможного и случайного событий. Примеры.
- •3. Классическое определение вероятности.
- •4. Основное правило комбинаторики. Пример.
- •5. Понятие перестановки множества. Формула подсчёта числа способов упорядочения множества. Пример.
- •Понятие размещения множества. Формула подсчёта числа размещений. Пример.
- •Понятие сочетания множества. Формула подсчёта числа сочетаний. Пример.
- •Определение относительной частоты. Пример.
- •9. Сумма двух событий (определение). Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
- •10. Полная группа событий (определение). Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу.
- •11. Противоположные события (определение). Теорема о сумме вероятностей противоположных событий.
- •12. Независимые события (определение). Зависимые события (определение). Пример независимых и зависимых событий.
- •13. Произведение двух событий (определение). Теорема о вероятности совместного появления двух независимых событий.
- •14. Условная вероятность (определение, формула). Пример.
- •15. Формула полной вероятности.
- •16. Формула Байеса. Вероятность гипотезы.
- •18. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (определение). Табличное представление закона распределения. Пример.
- •19. Биноминальное распределение (постановка задачи). Формула Бернулли.
- •20.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания.
- •21. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
- •Понятие отклонения случайной величины от её математического ожидания. Математическое ожидание отклонения.
- •23. Дисперсия дискретной случайной величины (определение, формула).
- •Вторая формула для вычисления дисперсии:
- •24. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
- •Полигон частот. Принципы построения. Пример.
- •29. Гистограмма. Принципы построения. Пример.
- •30. Свойства статистических оценок параметров распределения: несмещённость, эффективность, состоятельность.
- •37. Нормальный закон распределения. Формула плотности вероятности.
- •38. Свойства кривой нормального закона распределения:
- •41. Понятие эксцесса распределения.
Понятие отклонения случайной величины от её математического ожидания. Математическое ожидание отклонения.
Отклонение – разность между случайно величиной и ее математическим ожиданием
X |
X1 |
X2… |
Xn |
P |
P1 |
P2… |
Pn |
X-M(x) |
X1-M(x) |
X2-M(x)… |
Xn-M(x) |
P |
P1 |
P2… |
Pn |
Математическое ожидание отклонения всегда равно 0
Доказательство : M(X-M(M(x)))=M(x)-M(M(x))=M(x)-M(x)=0
Пояснение: по свойству М(С)=С
23. Дисперсия дискретной случайной величины (определение, формула).
Определение: дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание (М) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Формула:D(X)= M(x-M(x))2
На всякий случай: отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием, то есть отклонение равно х-М(х))
Вот как это действует в таблице:
Строим закон распределения случайной величины Х:
Х |
х1 |
х2 |
... |
xn |
Р |
р1 |
р2 |
... |
pn |
А это таблица квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ее в задачах рисовать не надо, но для теории написать стоит:
(х-М(х))2 |
(х1-М(х))2 |
(х2-М(х))2 |
... |
(хn-М(х))2 |
Р |
р1 |
р2 |
... |
pn |
Тогда D(X)= М((х-М(х))2) = (х1-М(х))2 ∙ р1 + (х2-М(х))2 ∙ р2 + … + (хn-М(х))2 ∙ pn
Пояснение:
1.) Мат. ожидание у нас равно сумме произведения случайных величин на их вероятности (т.е. М(Х)= х1 ∙ р1 + х2 ∙ р2 + … + хn ∙ pn).
2.) Отклонение у нас равно разность между случ. величиной и ее мат. ожиданием (т. е. оно равно х-М(х)).
3.) Для формулы нам нужен квадрат отклонения (посмотрите таблицу, там мы возводим отклонение в квадрат).
4.) Затем для формулы нам нужно математическое ожидание этого квадрата отклонения (которое было в предыдущем шаге). По формуле мат.ожидания получаем: (х1-М(х))2 ∙ р1 + (х2-М(х))2 ∙ р2 + … + (хn-М(х))2 ∙ pn
Пример: найти дисперсию случайной величины Х,которая задана следующим законом распределения:
Х |
1 |
2 |
5 |
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Высчитаем мат. jжидание:
М(Х)= 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 + 5 ∙ 0,2 = 0,3 + 1 + 1 = 2,3
Высчитываем отклонение случ. величин:
(х1-М(х))2 = (1 — 2,3)2 = 1,69
(х2-М(х))2 = (2 — 2,3)2 = 0,09
(х3-М(х))2 = (5 — 2,3)2 = 7,29
Строим таблицу:
(х-М(х))2 |
1,69 |
0,09 |
7,29 |
Р |
0,3 |
05 |
0,2 |
Пояснение: получившиеся отклонения мы как раз и заносим в таблицу. При этом вероятности НЕ меняются, они такие же, как и в данном в условии задачи законе распределения.
Тогда по формуле дисперсии считаем:
D(X)= М((х-М(х))2) = 1 ∙ 0,3 + 0,09 ∙ 0,5 + 7,29 ∙ 0,2 = 2,01.
Ответ: Дисперсия случ. величины Х равна 2,01