Определение касательных напряжений при изгибе.
Выше было показано (8.4), (8.5), что касательные напряжения при плоском прямом изгибе зависят только от поперечных сил. Однако, при выводе формулы для касательных напряжений необходимо считаться с наличием изгибающих моментов, так как если то В общем случае
При этом скорость изменения моментов выше, чем скорость изменения поперечных сил. Поэтому, считаясь с приращением моментов, пренебрегаем изменением поперечных сил при переходе от одного к другому бесконечно близкому сечению
В силу закона парности касательные напряжения возникают не только в поперечных сечениях, но и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Поэтому вместо нахождения касательных напряжений, параллельных и действующих на уровне в поперечном сечении, можно определить равные им касательные напряжения, действующие на этом же уровне в продольном сечении
К выводу формулы Журавского
Чтобы определить касательные напряжения, действующие в сечении на уровне от нейтральной линии, в области этого сечения выделим бесконечно малый элемент балки. Для этого проведем два поперечных сечения 1, 2 (рис. 8.10) и одно продольное сечение, параллельное нейтральному слою и отстоящее от него на расстояние На рисунке (8.12) это сечения соответственно
элемента действуют искомые касательные напряжения параллельные и нормальные напряжения
По сечению элемента действуют такие же по величине касательные напряжения и нормальные напряжения
В сечении действуют касательные напряжения направленные в сторону меньшего нормального напряжения, а нормальные напряжения здесь отсутствуют или пренебрежимо малы
Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы проекций всех сил на ось предполагая, что касательные напряжения а потому и по ширине сечения не меняются
После подстановки (8.11), (8.12), получим
абсолютная величина статического момента той части поперечного сечения, которая лежит ниже или выше уровня искомых напряжений
Из (8.13), принимая во внимание (8.1), получим расчетную формулу для касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при плоском прямом изгибе параллельно на уровне от нейтрального слояСледует помнить, что касательные напряжения (8.15), параллельные в общем случае являются только частью полных касательных напряжений (рис. 8.5).
Осевое растяжение – сжатие. Основные понятия. Метод определения в.с.ф.
Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы , а прочие силовые факторы равны нулю.
Осевым растяжением бруса называется вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси.
Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня.
Деформации при осевом растяжении – сжатии. Закон Гука. Коэффициент Пуассона.
Рассмотрим
однородный стержень с одним концом,
жестко заделанным, и другим - свободным,
к которому приложена центральная
продольная сила Р (рис. 2.8).
До нагружения стержня
его длина равнялась 
-
после нагруженияона
стала равной 
(рис. 2.8).
Величину 
называют абсолютным
удлинением стержня.
Рис. 2.8
Если
в нагруженном стержне напряженное
состояние является однородным, т.е. все
участки стержня находятся в одинаковых
условиях, деформация 
остается
одной и той же по длине стержня и равной
. (2.4)
Если
же по длине стержня возникает неоднородное
напряженное состояние, то для
определения его абсолютного удлинения
необходимо рассмотреть бесконечно
малый элемент длиной dz (рис. 2.8).
При растяжении он увеличит свою длину
на величину 
и
его деформация составит:
. (2.5)
В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):
. (2.6)
Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.
Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:
,
откуда с учетом того, что
и 
,
окончательно получим:
. (2.7)
Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим
. (2.8)
Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.
При решении многих практических задач возникает необходимость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механических нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные температурным воздействием. В этом случае пользуются принципом независимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:
, (2.9)
где 
коэффициент
температурного расширения
материала; t перепад
температуры тела. Для однородного
стержня, нагруженного по концам
продольными силами Р и
равномерно нагретого по длине, получим:
. (2.10)
Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Р.Гуком и носит название закона Гука.
В соответствии с этим законом перемещение произвольно взятой точки А (рис. 1.8, а) нагруженного тела по некоторому направлению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:
, (1.11)
где Р - сила,
под действием которой происходит
перемещение u; 
-
коэффициент пропорциональности между
силой и перемещением.
Очевидно, что коэффициент зависит от физико-механических свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей системы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.
В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжениями и деформациями, а не между силой и перемещением.
, (1.12)
. (1.13)
Параметры 
и 
,
входящие в эти формулы, называют модулями
упругости материала соответственно
первого и второго рода. Они характеризуют
его сопротивляемость деформированию,
или жесткость в упругой стадии деформации.
Численные значения
и
для
каждого конструктивного материала
определяются экспериментально. Они
имеют размерности напряжений. На практике
удобно использовать единицы, кратные
паскалю: мегапаскаль (1
МПа=106 Па)
и гигапаскаль (1
ГПа=109 Па).
Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.
В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.