Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .

Определение. сходится в точке , если числовая последовательность сходится. Множество всех точек в которых сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .

- область сходимости . Пусть - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция называется предельной функцией последовательности .

Замечание. Точечная сходимость на некотором множестве не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность определенная на множестве .

Формальное выражение вида называется функциональным рядом.

Множество - область определения ряда. Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что является функциональной последовательностью, определенной на .

Пусть точка

Определение. Функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд сходится. Множество точек , где сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве , если последовательность его частичных сумм сходится на .

Если функциональный ряд сходится на множестве , то его сумма есть функция , определенная на . Очевидно, есть предел функциональной последовательности .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

Равномерная сходимость

Определение. Последовательность сходится равномерно к функции на множестве , если . ( не может быть одной точкой).

Замечание. Из равномерной сходимости на множестве следует обычная (точечная) сходимость этой же последовательности на . Обратное неверно.

Определение. Последоваельность сходится равномерно на , если существует , такая что сходится равномерно к на . Обозначается на .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)

Здесь – постоянные вещественные числа, называемыекоэффициентамистепенного ряда; а – некоторое постоянное число, х –переменная,принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд(1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд(1.1) называют рядом по степеням разности ,ряд (1.2) – рядом по степеням х.

(Теорема Абеля):

если степенной ряд (1.2) сходится при ,то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ;если же ряд(1.2) расходится при ,то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.