Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

Для n-й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(1)

Неравенство Бесселя

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию f (x), заданную в интервале [−π, π]. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

В неравенстве Бесселя устанавливается, что

Отсюда следует, что ряд сходится.

Равенство Парсеваля

Если f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π], так что выполняется соотношение

то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля:

Формула Парсеваля в комплексной форме

Снова предположим, что f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π]. Пусть c_n − ее комплексные коэффициенты Фурье, то есть

где

Тогда формула Парсеваля записывается в виде

Заметим, что энергия 2π-периодической волны f (x) равна

Определение ряда Фурье

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].

1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:

2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции (Смотрите об условиях сходимости также раздел Сходимость рядов Фурье). Если x₀ − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению

Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя a_n и b_n новыми переменными d_n и φ_n или d_n и θ_n , где

можно, соответственно, записать

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются выражениями

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид

где ы b_n равны

Ниже мы рассмотрим некоторые типичные примеры разложения функций с периодом 2π в ряд Фурье, предполагая, что такие разложения существуют и сходятся к заданной функции.

Четные и нечетные продолжения

Предположим, что f (x) является кусочно-непрерывной функцией, заданной в интервале [0, π]. Чтобы найти разложение данной функции в ряд Фурье, нужно продолжить ее и построить в интервале [−π, π]. Это можно сделать двумя способами:

1. можно построить четное продолжение f (x):

2. или построить нечетное продолжение f (x):

В случае четной функции разложение в ряд Фурье описывается выражением

где

В случае нечетной функции, соответственно, получаем

где коэффициенты разложения равны

Понятие четного и нечетного продолжения функции можно ввести и для непериодической функции. Пусть функция f (x) определена в интервале [0, L]. Используя четное продолжение данной функции на интервал [− L, L], получим следующую формулу разложения в ряд Фурье:

где

В случае нечетного продолжения соответствующая формула имеет вид

где коэффициенты b_n равны

Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











 Биномиальный ряд

     Знаменитая формула, изучаемая в школе под названием "бинома Ньютона", фактически была известна еще задолго до Ньютона. Ньютону же принадлежит заслуга ее распространения на случай не натуральных показателей.

     Поставим вопрос о разложении функции

f(x) = (1 + x) ^μ

в ряд, расположенный по степеням x. Здесь

f '(x) = μ(1 + x) ^μ-1,   f "(x) = μ(μ - 1)(1 + x) ^μ-2,

f ″′(x) = μ(μ - 1)(μ - 2)(1 + x) ^μ-3

и вообще

f ⁽ⁿ⁾(x) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1)(1 + x) ^μ-n,

что можно подтвердить с помощью полной индукции.

     Таким образом,

f(0) = 1,   f '(0) = μ,   f "(0) = μ(μ - 1),   ...

...,   f ⁽ⁿ⁾(0) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1),   ...

и ряд Тейлора нашей функции таков:

     (71)

     Этот ряд называется биноминальным. Если μ = 0, 1, 2, то ряд (71) принимает соответственно вид

1,   1 + x,   1 + 2x + x²,

т. е. превращается в конечный многочлен. Нетрудно видеть, что это явление имеет место всегда, когда μ - целое неотрицательное число. Для таких значений μ равенство функции (1 + x) ^μ и суммы ее ряда Тейлора, т. е. равенство

справедливо при всех действительных (и даже комплексных!) x, что и составляет содержание элементарной теоремы о биноме Ньютона.

     Если μ не есть целое неотрицательное число, то ряд (71) существенно бесконечен, и прежде всего встает вопрос о его промежутке сходимости.

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция называется аналитической в точке , если сужение функции на некоторую окрестность является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки .

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного (где и  — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трёх определений.