Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R –некоторое неотрицательное действительное число или .

Число Rназываетсярадиусом сходимости,интервал – интервалом сходимостистепенного ряда (1.2).

Если ,то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если ,то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание:если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимостиR и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости ,т. е. при и .

Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд сходится в какой-то точке . Тогда этот ряд сходится (абсолютно).

Доказательство. Ряд сходится в точке x₁ в обычном смысле сходится числовая последовательность сходится к нулю ограничена, то есть

Рассмотрим . Обозначим

Рассмотрим : сходится, следовательно числовой ряд (для фиксированного x) сходится по признаку сравнения сходится абсолютно на множестве | x | < | x₁ |

Следствие. Если степенной ряд расходится в точке x₂, то этот ряд расходится .

Определение. Если R - неотричательное число или обладает тем свойством, что степенной ряд сходится на множестве | x | < R и расходится на множестве | x | > R, то R называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал ( − R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка

Теорема. У всякго степенного ряда есть радиус сходимости.

Доказательство. Пусть A - множество всех неотрицательных чисел, в которых степенной ряд сходится.

Так как ряд сходится в точке (возможно равная ). Обозначим R = supA. Докажем, что R - радиус сходимости степенного ряда.

Фиксируем по определению точной верхней граним число так как ряд сходится в точке по теореме Абеля ряд сходится на множестве | x | < c, в частности в точке x. Так как x - любая точка, такая что ряд сходится на множестве | x | < R.

Фиксируем число в | x | > b > R такое что . То есть степенной ряд расходится в точке степенной ряд расходится в точке x (по следствию из теоремы Абеля) ряд расходится на множестве | x | > R. Следовательно R = sup A - радиус сходимости степенного ряда .

Лорана ряд, ряд вида

, (*)

то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным степеням разности z — а (где z, а и коэффициенты ряда — комплексные числа). Совокупность членов с неотрицательными степенями представляет здесь обыкновенный степенной ряд, сходящийся, вообще говоря, внутри круга с центром а и радиусом R (£ ¥); остальные члены образуют ряд, сходящийся, вообще говоря, вне круга с тем же центром, но с радиусом r (r ³ 0). Если r < R, то ряд (*) сходится в круговом кольце r < |z — а| < R; его сумма является в этом кольце аналитической функцией комплексного переменного z.

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.