Свойства

• Арифметические свойства

Если и аналитичны в области

1. Функции , и аналитичны в .

2. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

3. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.

Интегральная теорема Коши

Теорема

Для любой функции , аналитической в некоторой односвязной области и для любой замкнутой кривой справедливо соотношение

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма замкнута. Пусть теперь  — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции , ограничивающий область . Тогда по теореме Стокса имеем:

Формула Коши

Пусть функция  аналитическая в односвязной замкнутой области  ( ), с кусочно-гладкой границей , ориентированной в положительном направлении (рис. 142), т. е. против часовой стрелки. Тогда имеет место формула Коши

,

где  - любая точка внутри контура .

Таким образом, аналитическую функцию достаточно определить на контуре , а по формуле (1) можно автоматически получить ее значения в других точках .

Для доказательства формулы (1) рассмотрим функцию

.            (2)

Опишем около точки  окружность  (см. рис. 142), ориентированную положительно, достаточно малого радиуса . Функция  определена и непрерывна на  за исключением точки , в которой ее предел равен производной от  в :

.

Рис. 142

Поэтому, если доопределить функцию  в  при помощи равенства , то она окажется определенной, непрерывной и ограниченной на :

, .

К тому же функция  аналитична на множестве, ограниченном контурами  и  и по теореме 3 § 6.6

.

Но правая часть этого равенства стремится при  к нулю:

,

а левая не зависит от . Поэтому

Так как (см. (10) § 6.6)

,

формула Коши доказана.

Формула Коши имеет место и для многосвязной области и доказательство ее может быть сведено к уже доказанной формуле Коши для односвязной области.

На рис. 143 изображена двусвязная область  с положительно ориентированной границей , состоящей из двух замкнутых соответственно ориентированных контуров .

Рис. 143

Рис. 144

Пусть  - произвольная точка . Соединим контуры  и  кусочно-гладкой кривой , ориентированной от  и , не проходящей через точку . Наряду с кривой  вводим совпадающую с ней кривую , но ориентированную противоположно.

Если из  выкинуть , то оставшаяся область  будет односвязной с положительно ориентированной границей:

.

Функция  аналитическая, на  и . Поэтому на основании теоремы Коши для односвязной области

,

потому что .

Пример. Вычислить интеграл

,

где  - ориентированный против часовой стрелки контур, содержащий в себе точку  (рис. 144) и такой, что точка  находится вне него. Запишем наш интеграл в виде

и рассмотрим функцию . В силу наших предположений о контуре  эта функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром , поэтому по формуле Коши

.

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо не дифференцируема.