33. Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.

Пусть G – замкнутая (содержит все свои точки) и ограниченная область.

Ф-я z=f(x,y) на этой области определена и ограничена.

Граница области G составлена из точек y_i=f_i(x) и x_i=f_i(y).

Введем понятие интегральной суммы:

1. Разобьем обл. G на n произвольных частей (G_i, i=1,n). G_i – частичная область. Полученные частичные области не имеют общих точек. S_i, i=1,n – площадь частичной области.

В каждой частичной области выберем точку с координатами (α_I,β_I). Вычислим значение ф-и в этой точке (f(α_I,β_I)) и составим такую сумму:

n

(1) =f(α_I,β_I)S_i

i=1

(1) – интегральная сумма ф-и f(x,y) в обл G.

d_I – диаметр области G_i

 - диаметр разбиения: =maxd_I

Определение 

Если интегральная сумма (1) при 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется  от ф-и f(x,y) по области G и обозначается:

I=f(x,y)dxdy

G

f(x,y) – подынтегральная функция.

Если  , то говорят, что ф-я f(x,y) интегрируема по области G, G называют областью интегрирования; х,у – переменными интегрирования; dxdy– элементом площади.

Замечание. Условие огранич ф-ии z=f(x,y) явл необходим,но не достаточным.

Достат условие формулировки с исп-ем сумм Дарбу (кот полностью переносится аналогично в ф-лу).

Теорема1. Ф-ия f(x,y) непрерывная в замкнутой огран обл G,интегрир в обл G.

Теорема2. Ф-ия f(x,y) огран в замкнутой огран обл G и непрер в ней всюду,кроме точек …….. на конечном числе кривых явл графиками ф-ии y=f(x) и x=g(y),где f и g непрер и интегрир в этой обл.

Геометрический смысл 

Пусть в пространстве дано тело Р, ограниченное:

1.Сверху – графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f(x,y)

2.Снизу – областью G

3.Сбоку – цилиндрической поверхностью.

Направляющей этой цилиндрической поверхности является область G, а образующими – прямые, || оси z.

Такое тело называется криволинейным цилиндром

Интегр сумма σ-это сумма объемов цилиндриков,в которой можно принять приближенно за тело Р,это приближенное равенство тем точнее,чем меньше область разбиения G на части,т е при переходе к пределу при 0 мы получаем равенство

n

VP = limf(α,β)S_i.

0 i=1

Т.о. геометрический смысл :

 от непрерывной, неотрицательной, ограниченной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Следствие: Если f(x,y) 1 для всех (x,y)€G,то I=f(x,y)dxdy =lim при λ→0 ∑f(α,β)* S_i= limS_i = S_G.

0 i=1

Свойства .

1.kf(x,y)d'xd'y = kf(x,y)d'xd'y

2. (f(x,y) + g(x,y))d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + _Gg(x,y)d'xd'y.

3. f(x,y)d'xd'y = f(x,y)d'xd'y + f(x,y)d'xd'y.

Теорема о среднем:

Если ф-я f(x,y) непрерывна в области G, то в этой области  точка с координатами (α_I,β_I), такая, что

f(α_I,β_I)*S = f(x,y)d'xd'y, где S – площадь области G.

34. Сведение двойного интеграла к повторному(2случая).

1сл. Теорема о переходе от к повторному для прямоугольной области.

Рассмотрим  по некоторому прямоугольнику D' со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема: Пусть для ф-и f(x,y) в прямоугольной области D'={(x,y)|axb; cyd'} 

f(x,y)d'xd'y.(1)

D'

Пусть, кроме того, для каждого х из отрезка [а;b]  определенный интеграл

d'

I(x)=f(x,y)d'y.(2)

c b b d'

Тогда  интеграл I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y, называемый

a a c

повторным, и справедливо равенство:

b d'

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y.(3)

D' a c

Замечание: Если в теореме х и у поменять ролями, то будет доказано существование повторного интеграла

d' d' b

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c a

и справедлива формула

d' b

f(x,y)d'xd'y = d'yf(x,y)d'x. (8)

D' c a

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному.

Пример.