2Сл. Теорема о переходе от  к повторному для криволинейной обл-ти.

Теорема. Пусть ф-я z=f(x,y) определена в области G={(x,y)|axb; y₁(x)yy₂(x)}, где у₁(х) и у₂(х) – непрерывные ф-и, у₁(х)у₂(х) для axb.

Пусть, кроме того,  двойной интеграл

f(x,y)d'xd'y и для каждого х из отрезка [a,b] существует

G

определенный интеграл

у₂(х)

f(x,y)d'y = I(x).

у₁(х)

Тогда  повторный интеграл:

b b у₂(х)

I(x)d'x = d'xf(x,y)d'y

a a у₁(х)

и справедливо равенство

a у₂(х)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y (1)

G b у₁(х)

Замечание1.

Если в теореме х и у поменять ролями, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла:

d' d' x₂(y)

I(y)d'y = d'yf(x,y)d'x

c c x₁(y)

и равенства:

d' x₂(y)

f(x,y)d'xd'y = d'xf(x,y)d'y

G c x₁(y)

35. Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2,….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму

а1+а2+а….+аn= ∑a_n при 1→∞ (1)

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1,а2,…аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Sn= ∑a_n при 1→∞ Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных.

Числовой ряд (1) назыв. Сходящ,если посл-ть частичных сумм сходится к некоторому числу S,т.е. S= ∑a_n при 1→∞

Т.к. число членов ряда бесконечно,то частичные суммы ряда S_n образуют бесконечную посл-ть частичных сумм.

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.

36. Свойства сходящихся числовых рядов.

Св. сход. Рядов

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..= ∑a_n при 1→∞ сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд ∑ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰ Если ряды ∑a_n при 1→∞ и Sn= ∑ b_n при 1→∞ сходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд ∑(а_n+- b_n) также сходится , при чём его сумма S=S’+-S”

2⁰ и 3⁰ следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n->0

37. Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к 0.

а_n=S_n-S_n-1 и, поскольку ряд сход., S_n->S и S_n-1->S при n->, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замечание. Условие явл. Необх,но не достаточн. ,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=∑1/n при n=1 и ∞

lim _(n->oo)1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim S_2n=S

lim S_n=S

S_2n- S_n

lim (S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию,сл-но гармонич. Ряд расходится.