Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Матан шпоры.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
27.09.2019
Размер:
595.46 Кб
Скачать
  1. Дифференциал функции n переменных.

Дифференциалом du дифференцируемой в точке М(х1,х2,…,хn) функции u=f(x1,x2,…,xn) называется главное линейное относительно приращения аргумента часть приращения этой функции в точке М.

Если все коэффициенты Ai=0, то дифференциал функции в точке М считается равным 0.

Как и в случае 1 перем-ой будем считать,что дифференциал от независимой переменной совпадает с ее приращением,т.е. d'xi= i= . du= (*)

Замечание1. Ф-ла (*) выписана для случая,когда пргументы хi явл независ переменными.Далее будет доказано,что ф-ла справедлива и в случае,когда хi-зависимые переменные (это св-во назыв инвариантность формы первого диффер-ла).

Замечание2. Геометр смысл диф-ла 2х переменных. (рис.)

  1. Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида:

U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1)

Xi=i(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)

[T] Пусть функция (2) дифференцируема в некоторой точке Nо ( , а функция (1) дифференцируема в точке Мо( , причем Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn), где Х1,Х2,…,Хn определяется по формулам (2) дифференцируема в точке Мо, при этом частные производные этой сложной функции вычисляются по формулам:

….

в которых берутся в точке Mо, а частные производные берутся в точке Nо.

Следствие: Случай,когда ф-ла (2) зависит только от t1 хi=φi(t),поэтому ф-ла примет вид

  1. Неявные функции.

D'ef Если переменная u, являющаяся по смыслу функцией переменных х1,х2,…,хn задается посредством функций уравнений F(U,X1,x2,…,xn)=0, то говорят, что функция задана неявно.

Частные производные неявно заданной функции вычисляются по формулам:

d'u/d'xi=-(d'F/d'xi)/(d'F/d'u), i=1,...,n

Рассмотрим совокупность М неявных функций, которые задаются посредством системы М функциональных уравнений:

/u1=ф1(х1,х2,...,хn)

/u2=ф2(х1,х2,...,хn) (1)

\...

\um=фm(х1,х2,...,хn)

Пусть функции определены, как решение М функциональных уравнений (2)

(2)

/F1(u1,...,um,x1,...xn)=0

/F1(u1,...,um,x1,...xn)=0 (2)

\...

\F1(u1,...,um,x1,...xn)=0

Решением системы (2) будет называться совокупность функций, таких что при их подстановки в систему все уравнения этой системы образуются в тождества.

D'ef Это решение будем называть непрерывным и дифференцируемом в некоторой области D' изменения переменных Х1,Х2,…Хn Если каждая из функций U1,U2,…Um непрерывна и дифференцируема в этой области.

ld'F1/d'u1, d'F1/d'u2,..., d'F1/d'un l

ld'F2/d'u1, d'F2/d'u2,..., d'F2/d'un l = D'(F1,F2,...,Fn)\D'(u1,u2,...,un)

l... l

ld'Fm/d'u1, d'Fm/d'u2,..., d'Fm/d'unl

Такой определитель называют определителем Якоби или Якобианом.

[T] Система (2) будет разрешима, а решение непрерывно и дифференцируемо, если функция f1,f2,…,fn дифференцируема в окрестности точки Мо, d'Fi/d'ui непрерывна в точке Мо, D'(F1,F2,...,Fn)\D'(u1,u2,...,un)

Якобиан отличен от 0 и F1=F2=…=Fn в точке Мо

  1. Производная по направлению. Градиент.

Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo). Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соs, cos,cos). Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcos, lcos, lcos) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo)

Т.о. получили один и тот же отрезок:

Приравняем

u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos) (1)

Т.о. u- сложная функция.

Производную указанной сложной функции по переменной l, взятую в точке l=0 нназывают производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, оопределяемому единичным вектором l. Обозначение:

(2)

Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)=

Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(

[Т] Вектор градиента функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо,т.е. производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенному вектором градиента этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению и это значение равно длине вектора градиента.

Док-во: Из ф-л (1) и(2) →(gradu,e) =∂u/∂e

∂u/∂e=(gradu,e) = |gradu|*|e|*cosφ

Cosφ=1 φ=0

Max значение достигается ↔ вектор е и вектор grad направлены одинаково. Тогда |∂u/∂e=gradu|

Следствие. Вектор градиента не зависит от выбора координат.

Геометрический смысл градиента:

Линии уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если В каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня- фунция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.