14. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

Дано:система функциональных уравнении т.е. пусть m-ф-ции

/y1=g1(x1,x2,…,xn)

(1) <y2=g2(x1,x2,…xn)

\ym=gm(x1,x2,…xn)

ищутся как решение системы m функциональных уравнении.

/F1(y1,y2…ym,x1,x2,…xn)=0

(2) <F2(y1,y2,…ym,x1,x2,…,xn)=0

\Fm(y1,y2…ym,x1,x2,…xn)=0

(1):yi=gi(x1,x2,…xn),i=1;n

(2):Fi=(u1,u2,…um,x1,x2,…xn)=0, i=1;m

Определение:Решение системы(2) называется совокупностью m ф-ции системы(1) таких,что при их подстановки в систему(2) все уравнения системы(2) обращаются верными тождествами.Это решение называется непрерывным и дифференцируемым на некотором открытом множестве Д изменение переменных х1.х2.,,,хт,если каждая из функции системы (1)непрерывна и дифференцируема на Д

(gradF1 )

F= (gradF2 ) (3)-матрица Якоби для ф-ции Fi по переменной ui и обозначает Д(F1,F2,…Fm) /( Д(u1,u2,…um)

( gradF3 )

Определитель матрицы F называется якобианом

Теорема: пусть m ф-ции стоящеи в левои части системы (2) в некоторой окрестности точки М0ЄЕ причем частные производные этих ф-ции Fi по переменным ui непрерывны в точке М0.Пусть все эти ф-ции Fi обращаются в точке М0 в 0 ,а якобиан D(F1,…Fm)/D(u1,…um)≠0 тогда для любых ε>0 существует окрестность в точке М’0ЄЕ' в пределах которой существуют единственные М ф-ции gi системы(1) такие что они удовлетворяют условию | gi-gi° |<εi i=1,m и является решением системы (2) причем это решение непрерывно и дифференцируемо в этои окрестности точки М'0

Замечание:При m=1 эта теорема становится теоремой о дифференциале неявных ф-ции.

15. Условный экстремум

Задача отыскания экстремума функции аргументы которой удовлетворяют дополнительному условию связи называется задачей отыскания условного экстремума.

Рассмотрим вопрос отыскания экстремума функции z=f(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn)

Будем говорить, что эта функция при наличии условий связи

/F1(u1,...um,x1...,xn)=0

/F2(u1,...um,x1...,xn)=0

\...

\Fm(u1,...um,x1...,xn)=0

(2)имеет условный максимум (минимум) в точке Мо, координаты которой удовлетворяют этим условиям связи, если существует окрестность точки Мо, для которой значение этой функции в точке Мо является наибольшим (наименьшим) среди всех точек координаты которых удовлетворяют эти условиям связи.

Первый способ решения задачи условного экстремума:

Основная его идея – переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.

Пусть у функции F1, F2, …Fm дифференцируема в окрестности точки Mо и непрерывны в окрестности точки Мо. Пусть, кроме того, ЯкобианD'(F1,F2,...Fn)/D'(u1...,un) неравен 0 в точке Мо. Тогда система (2) имеет непрерывное дифференцируемое решение

/u1=ф1(x1,x2,xn)

/u2=ф2(x1,x2,xn)

\...

\un=фn(x1,x2,xn)

Подставим это решение в функцию 2: z= f(ф1(х1,х2,...,хn), ф2(х1,х2,...,хn)... фn(х1,х2,...,хn)

16. Метод множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+л1F1+л2F2+…+лmFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь л1, л2,…лn –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,1,2,…n)

Необходимые условия экстремума:

/d'L/d'u1=0...

/d'L/d'um=0

/d'L/d'x1=0... необходимые условия экстремума

\d'L/d'xn=0

\F1=0

\Fn=0

Эта система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо( u10,...,um0,x10,...,xn0)

о( k10,...,лm0)

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума

Пусть ф. u-f(x₁…..x_n) один раз дифференцируема в некоторой окрестн. (.) M₀ и 2 раза дифференцируема в самой (.)M₀. пусть кроме того M₀-стационарная (.) Тогда если d²u положительно определённая квадратичн. форма от переменных dx₁…..dx_n, то ф. имеет в (.)M₀ локальный минимум

Если d²u отриц. определённая квадратичн. форма, то ф. имеет в (.)M₀ локальный максимум

Если d²u знакопеременная квадратичная форма, то M₀ не явл. (.) экстремума

Замечание: при проверке критерия знакоопределённости квадратичной формы d²u мы анализируем матрицу А

d²u/dx₁² d²u/dx₂dx₁ ….. d²u/dx₁dx_n

А= d²u/dx₂dx₁ d²u/dx₂² ….. d²u/dx₂dx_n

…………………………………………

d²u/dx_ndx₁ …………………. d²u/dx_n²

Теор. Пусть ф. u=f(x,y) 1 раз дифференцруема в окрестности (.) M₀(x₀,y₀) и 2 раза в самой (.) M₀ , тогда если в (.) M₀ выполняется условие d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx >0, то экстрем. В (.) M₀ существует , причём если d²u/dx² > 0, то M₀ (.) минимума; если

d²u/dx² < 0 , то M₀ (.) максимума

Если d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx <0, то экстрем. ф. в (.)M₀ не существует.