38. 38. Ряды с неотрицательными членами. Признак сходимости.

Пусть E(1,oo)a_n и любой а_nнеравен0

Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д. , чтобы послед. Частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной.

Доказ. Необходимость: пусть ряд E(1,oo)a_n сходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {S_n} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена

Достаточность: пусть {S_n} – ограниченная последовательность ,т.к. любой а_n0, то 0<

=S₁<=S₂<=…..<=S_n, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится, и ряд также сходится

39. Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами E(1,oo)an=a1+a2+...+an (1)и E(1,oo)bn=b1+b2+...+bn(2) (2)выполняется неравенство ab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

40. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд E(1,oo)a_n (1) с положительными членами и существует

предел lim(n->oo) ((a_n+1)/(a_n))=p. Тогда:

а) при p<1 ряд сходится; б) при p>1 ряд расходится; в) при р=1 - ?

Интегральный признак Коши. 

Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= Ef(n) (2) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x , положительной, непрерывной и убывающей на +oo полуинтервале [1, +oo). Тогда, если ∞ ∫(1,n+1) f(x)d'x (3)(несобств) сходится, то сходится и ряд (2).Если же (3)расходится , то и ряд (2) также расходится.

[Т] признак Коши.

Пусть дан ряд сумма ∞∑n=1 а_n для любого n Q≥0 то сущ P= lim при n→∞ √a_n (корень в степени n),тогда если: а) р<1,то ряд сходится; б) р>1,ряд расходится; в) р=1, - ?.

39. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)^(ⁿ⁺¹⁾a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim(n->oo) a_n = 0, то ряд сходится.

39. Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= E(1,oo)a_n (1), где числа а₁…могут быть как положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=Eа_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1),при этом ряд (1) назыв абсолютно сходящимся.

Замечание. Данное условие явл достаточным,но не необходимым.

Ряд (1) назыв словно сход,если он сходится,а ряд (2) расходится.

Замечание2. Абсолютно сход и условно сход ряды обладают разными св-ами.

39. Степенные ряды.

Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nx^ⁿ+…=E(o,oo)a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Мн-во тех Х,прикоторых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Замечание. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀не равном 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию яl хl<lх₀l.

2. Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию lхl<lх₁l.

Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд E(0,oo) аn х^n (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при lxl<R и расходится при l хl>R.

Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Интервал сходимости равен +∞,если ряд сходится на всей числовой прямой.

Если R=0,то ряд сходится.Только при х=0,т.е. любоц степенной ряд имеет свой радиус сходимости.На концах интервалов ряд может сходиться,а может расходиться.

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim(n->oo)lаn+1/anlне равно0 ,то радиус сходимости степенного ряда E(0-00)аnх^n(1) равен R= lim(n->oo)lan/an+1l.

39. Св-ва степенных рядов.

Теорема:Если ф-ция f(x) на интеграле (-R;R) разлагаема в степеннои ряд f(x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…(6),то она дифференцируема на этом интервале и её производная f ' (x) может быть наидена почленным дифференцированием ряда (6), т.е. f ‘ (x)=(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…) ’ =a1+2a2x+3a3x^2+…+nanx^(n-1)+…Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка ф-ции f(x) .При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости что и ряд (6)

Теорема:Если ф-ция f(x) на интервале ( -R;R) разлогается в степеннои ряд (6), то она интегрируема в интервале ( -R;R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (6) т.е. если х1,х2Є( -R;R), то

Х1∫х2 f(x)dx=x1∫x2(a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…)dx=x1∫x2a0dx+x1∫x2 a1xdx+…x1∫x2 anx^ndx+…