- •Пространство Rn.
- •Сходимость последовательности в Rn.
- •Открытые,замкнутые.Компактные мн-ва Rn.
- •Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.
- •Частные производные функции n переменных.
- •Дифференцируемость функции n переменных.
- •Дифференциал функции n переменных.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Неявные функции.
- •Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков функции n переменных.
- •Локальный экстремум. Необходимые условия.
- •Достаточные условия локального экстремума функции n переменных.
- •Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа.
- •Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)
- •23. Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.
- •Понятие неопределенного интеграла.
- •Основные методы интегрирования.Рекурентные формулы.
- •Непосредственное интегрирование.
- •Метод подстановки или метод замены переменных.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррац. И трансцендентных функций.
- •Понятие определенного интеграла.
- •Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Замена переменных в определенном интеграле.
- •Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции,длина дуги плоской кривой,объем тела вращения и площадь поверхности.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.Примеры.
- •Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.
- •Сведение двойного интеграла к повторному(2случая).
- •2Сл. Теорема о переходе от к повторному для криволинейной обл-ти.
- •Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.
- •Свойства сходящихся числовых рядов.
- •Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.
- •38. Ряды с неотрицательными членами. Признак сходимости.
- •Признак сравнения.
- •Признак Даламбера.
- •Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
- •Знакопеременные ряды, их сходимость.
- •Степенные ряды.
- •Разложение ф-ии в степенные ряды.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Диффер ур-ния 1-го порядка.Решение ур-ния.Теорема Коши и ее геом смысл.
- •Общее и частное решение диффер ур-ния.
Основные методы интегрирования.Рекурентные формулы.
Непосредственное интегрирование.
Это вычисление интеграла с помощью непосредственного исп-ия таблиц простейших интегралов и основных св-в неопред интегралов.
Метод подстановки или метод замены переменных.
Достаточно часто введение новой переменой позволяет свести интеграл к табличному
[Т] Пусть функция х=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х- множество значений этой функции, на котором определена функция y=f(x), т.е. на T определена сложная функция y=f[(t)]. Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула f(x)d'x|x=(t)= f[(t)]’(t)d't. Доказательство: Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x). Рассмотрим на множестве T сложную функцию F[(t)]. Продифференцируем ее по правилам дифференцирования сложной функции: F’[(t)]*’(t)=f’[(t)]*’(t)
мы получили что эта функция имеет на множестве Т первообразную F[(t)]. f[(t)]*’(t)d't=F[(t)]+C=F(x)+C|x=(t)= f(x)d'x|x=(t). Получили искомую формулу.
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
[Т] Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)*v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е. существует v(x)u’(x)d'x. Тогда на промежутке Х функция имеет u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: u(x)v’(x)d'x=u(x)v(x)- v(x)u’(x)d'x. Доказательство: Из равенства [u(x)*v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x). Первообразной функции [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является функция u(x)v(x). Функция u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v’(x) имеет первообразную на промежутке Х (как разность интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим формулу u(x)v’(x)d'x=u(x)v(x)- v(x)u’(x)d'x (формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле).
Т.к. v’(x)d'x=d'v, u’(x)d'x=d'u, то ее можно записать в виде ud'v=uv-vd'u.
За u выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается дифференцированием, а за d'v ту часть, интеграл от которой существует
Основные типы интегралов берущихся по частям.
Общие рекомендации: Практика показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям может быть выделена в следующие группы:
Подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из следующих функций: arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx, степени этих функций, а также lnx- их полагают за u, а оставшаяся часть это производные известных функций, т.е. интеграл от оставшейся части подынтегрального выражения существует.
Интегралы вида (ax+b)n sinkx, (ax+b)n coskx, (ax+b)n екх, где а,b,к=const, n- натуральное число. Эти интегралы берутся n- кратным интегрированием по частям. U=(ax+b)n 1kn, d'v- оставшаяся часть выражения.
Интегралы вида: ехasin(bx)d'x, еaxcos(bx)d'x, sin(lnx)d'x, cos(lnx)d'x. Исходный интеграл обозначается за I, берется 2 раза по частям и получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл I, т.е. мы получаем уравнение относительно исходного интеграла, решаем его относительно I.
Рекуррентная формула
Ik=89…….Ik-1
Рекуррентная формула доказывается с помощью интегрирования по частям
Ik=1/2a2(k-1) (t/(t2a2)k+(2k-3) dt/(t2a2)k-1 ) (K>2)
Сущ. интегралы, берущиеся по частям и не относящиеся ни к какой из вышеперечисленных групп.