39. Общее и частное решение диффер ур-ния.

Общим решением Ур-ния У' =f(х, у}(2) в некоторой обл G плоскости ОХУ наз функция у=Ф(х,С), завис от х и произвольной пост С, если она явл решением Ур (2) при любом значении постоянной С, и если при люб начальных условияхуl(Х=Хо) = Уо. (5) таких, что (х0; у0) принадл G , существует единственное значение постоянной С = С0 такое, что функция У= ф (х, С0) удовлетворяет данным начальным условиям ф (х0, С0)=у0

определение 4. Частным решением уравнения (2) в области G

называется функция у = ф (х, C0), которая получается из oбщего решения у=Ф(х,С) при определенном значении постоянной С = С0 Геометрически общее решение у = ф (х, С) представляет собой

семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от

одной произвольной постоянной С, а частное решение у = ф (х0,,С0)

— одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; у0).

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1. Рассмотрим уравнение у' = Зх^2.

Данное уравнение является дифференциальным уравнен первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Кс так как функции f(х, у) =Зх2 и f'у (х, у] = О определены и не рывны на всей плоскости Оху. Легко проверить, что функция y= х^3 + С, где С — произвольная постоянная, является общим! решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной получаем различные решения данного уравнения. Например, если С = 0, то у —=х3, если С = —1, то у = хя — 1, если С = 2, у = х3 + 2, и т. д.

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т. е. отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия:

Х=х0 у = УО. Подставляя эти значения в общее решение

у = х3 +С вместо х и у, получаем у0 = Хо + С, откуда

С = у0 — х3. Таким образом, найдено частное решение

у•= х3 + у0 — х03. Геометри чески это означает, что из семейства кубических парабол у = х3 +С выбрана одна, проходящая через заданную точку (х0; у0)

Пример 2„ Рассмотрим уравнение у' = —у/х.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Функции f (х, у) = —у/х и f’y (х, у] = —1/х непрерывны при х <>0. Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, это уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнен в областях у > 0 и у < 0 является функция у = С/х, где С произвольная постоянная. При различных значениях постоянной получаем различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начал ным условиям х0 = 1, у0 = 1. Имеем 1 =С/1. Отсюда С = 1 и искомое частное реш у=1/х

Геометрически общ реш данного Ур предст собой семейство гипербол у=с/х, кажд из кот изображ частное реш данного Ур. Задавая нач усл х0=1 у0=1, выд из всего семейства ту гиперболу, кот проходит через точку (1;1) плоскости Оху( рис222). Через точки леж на оси Оу, не проходит ни одной инт кривой, т.е. это особые точки Ур.

Геометрический смысл уравнения, пусть дано дифференциаль-ное уравнение первого порядка у' = f (х, у] и пусть функция у =Ф (X) — его решение. График решения представляет собой не-прерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную.

39. Ур-ния с разделяющимися переменными.

Определение 5. Урав-нение вида

У' = f1 (x) *f2(y) (6)

где f1(х) и f2 (у) — не прерывные функции,

называется диф уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно

разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6) у' на

dy/dx, разделим обе части уравнения на f2 (у] (предполагаем

f2 (у) <>0) и умножим на f(x) Тогда уравнение (6) принимает вид

dy/f2(y)=f1(x)dx (7)

В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у — только в левую (т. е. переменные разделены). Предполагая, что функция у = ф (х) является решением уравнения, и подставляя ее в тождество(7), получаем тождество.

Интегрируя тождество, получаем

Sdy/f2(y)=Sf1(x)*dx+c (8)

где С =С.2 — С1 — произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение

уравнения (6).

39. Линейные ур-ния.Метод вариации.

Определение 6. Уравнение вида

У' + Р (х) *У = f(х),

где P (х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f(х) == 0(тождественно), то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением

Для нахождения общего решения уравнения (10) может применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

у' + р(х)у = О, (11)

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Ур-нение (11) является уравнением с разделяющимися переменными; Разделяя переменные и интегрируя, имеем

dy/y= -р(х) dх,

lnlyl = - S р (х)dx+ln IC1 I

lyl/lc1l=-Sp(x)dx

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (11):

у = ±С1*e ^-Sр(х)dх, или у = С*e^ -Sр(х)dх, где у = ±С1*e^ -Sр(х)dх, или у = С*e ^-Sр(х)dх, где

С = ±C1 — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение Ур(10) в виде (12), где С будем принимать не постоянной, а новой неизв функцией от х, т.е. в виде

y=C(x)*e^-Sp(x)dx

Чтобы найти функцию С (х) и, тем самым, решение в виде (13), ставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

C'(x)*e^-Sp(x)dx-C(x)*p(x)*e^(-Sp(x)dx)+p(x)*C(x)*e^-Sр(х)dх=f(x)

или c'(x)=f(x)*e^Sр(х)dх(14)

Итак чтобы функция (13) являлась решением уравнения(10), функця С (х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя находим

C(x)=Sf(x)*e^(Sр(х)dх)dx+c1

С1 — произвольная постоянная. Подставляя найденное выра-ие для С (х} в соотношение (13), получаем общее решение линейного уравнения (10):

. y(x)=c1*e^-Sр(х)dх+e^-sр(х)dх*Sf(x)*e^S(р(х)dх)dx(15)