1. Первообразная и ее свойства.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х² для любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F₁(x) = x² + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F₂(x) = x² – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F₂(x) = F₁(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Свойства.1. Если  F– первообразная для функции  f,  то  F + С,  где  С – константа, также является первообразной для той же функции.  Действительно,  (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f.

2. Если  F1  и  F2 – две первообразные для одной и той же функции  f,  то они отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если  F₁' = f  и  F₂' = f,  то  (F₁ - F₂)' = F₁ ' – F₂' = f - f = 0.  Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак,  F₁ – F₂ = С. Таким образом, все первообразные для функции  f  получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной. Надо помнить, что знак    является «неопределенным» в том смысле, что он обозначает какую-нибудь первообразную.

3.  

Действительно, пусть  F  и  G  – первообразные для функций  f  и  g  соответственно. Тогда  F + G  является первообразной для функции   f + g:  (F + G)' = F' + G' =f + g.

4.   Доказывается аналогично.

5. Линейная замена переменной.

Теорема.  Пусть  F – первообразная для функции  f.  Тогда  

Действительно, вычислим производную от  F(kx + b):  (F(kx + b))' = kF '(kx + b) = kf (kx + b). Отсюда  F (kx + b)  является первообразной для функции  kf (kx + b).

2. Неопределенный интеграл и его свойства.

        Определение. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C        называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.       .          Таким образом,  если F '(x)=f(x).

Выражение f(x)dx  называется подынтегральным выражением, функция f(x) - подынтегральной функцией, а переменная x - переменной интегрирования.          Можно сказать, что неопределённый интеграл представляет собой совокупность всех первообразных данной функции.    Нахождение неопределённого интеграла (первообразной) для данной функции f(x) называется интегрированием данной функции.