34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Теорема
(признак Лейбница).
Если члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают по абсолютной величине
(
для всех
)
и стремятся к нулю (
при
),
то ряд сходится.
Доказательство.
Согласно определению 3 нужно доказать,
что
.
Это равенство будет доказано, если его
установим как при чётном
,
так и при нечётном
;
при этом
.
Рассмотрим
сначала чётную частичную сумму, т.е.
сумму
первых членов ряда. Очевидно, что её
можно записать в виде
.
Из
условия теоремы
следует, что все выражения в скобках
этой суммы положительны. Следовательно,
сама эта сумма положительна
.
С возрастанием номера
эта сумма увеличится, т.к. добавится ещё
одно положительное слагаемое. Теперь
эту сумму запишем так:
.
В
этой записи все выражения в скобках
положительны и
.
Таким образом,
получается вычитанием из
некоторого количества положительных
чисел. Следовательно,
при любом
.
Таким
образом, установлено, что последовательность
чётных частичных сумм ряда возрастает
и ограничена сверху. По признаку
существования предела монотонной
последовательности она имеет конечный
предел, который обозначим
:
.
Проверим
теперь, что и частичные сумы с нечётными
номерами сходятся к тому же числу
.
Очевидно, что для таких сумм справедливо
равенство
.
Перейдём в этом равенстве к пределу,
когда
.
Так как по условию теоремы
,
то получим следующее:
.
Объединяя
результаты
,
можно записать
,
т.е. ряд сходится. Теорема доказана.
Ряд
получается из ряда
умножением
его на
.
Тогда при выполнении условий теоремы
9
этот ряд также сходится.
Знакочередующиеся
ряды при выполнении двух условий признака
Лейбница (
для всех
,
)
называют рядами
лейбницевского типа.
Как только что было установлено, любой
ряд лейбницевского типа сходится.
35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
Для
степенного ряда
(1)
имеют
место следующие утверждения:
1)
если степенной ряд (1)
сходится при
,
то он сходится (притом абсолютно) при
всех
таких, что
;
2)
если ряд расходится при
,
то он расходится при всех
,
для которых
.
Доказательство.
1. По условию теоремы числовой ряд
сходится. Следовательно, по необходимому
признаку сходимости
.
Отсюда следует, что сходящаяся числовая
последовательность
ограничена, т.е. найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Пусть
,
тогда величина
и, следовательно,
,
т.е. модуль каждого члена ряда (1)
не превосходит соответствующего члена
сходящегося геометрического ряда
.
Поэтому (по первому признаку сравнения)
будет сходиться ряд
.
Следовательно, при
ряд (1)
сходится абсолютно.
2.
Дано, что ряд расходится в точке
;
нужно доказать, что он расходится для
всех
,
удовлетворяющих неравенству
.
Предположим противное: при некотором
,
удовлетворяющем неравенству
,
степенной ряд сходится. Тогда по первой
части теоремы Абеля ряд будет сходиться
при всех
,
для которых
,
и, в частности, в точке
,
что противоречит условию теоремы.
Теорема полностью доказана.
С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается следующее:
1)
если ряд (1)
сходится в точке
,
то он абсолютно сходится на интервале
;
2
)
если ряд (1)
расходится в точке
,
то он расходится на луче
,
лежащем левее точки
,
и на луче
,
лежащем правее точки
:
Для
области сходимости степенного ряда (1)
возможны следующие ситуации: 1) ряд
сходится только в одной точке
(в этой точке сходится всякий степенной
ряд (1));
2) ряд сходится на всей числовой оси; 3)
ряд сходится не на всей числовой оси,
но и не только в одной точке
.