20.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида f₁(y)dy = f₂(x)dx, которое записано в дифференциальной форме. Здесь f₁(y), f₂(x) – известные непрерывные функции своих аргументов. Переменные х и у разделены, поскольку в уравнении левая часть содержит лишь переменную у и её дифференциал, а правая часть – только переменную х и её дифференциал.

Соотношение вида является общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида f₁(x)q₁(y)dy = f₂(x)q₂(y)dx

С помощью деления на f₁(x)q₂(y) ≠ 0 уравнение приводится к виду , интегрируя которое находим общий интеграл дифференциального уравнения «в квадратурах»

. Отметим, что при делении возможна потеря частных решений.

21.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1ого порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её первая производная входят в 1ой степени: y’+p(x)y=q(x) (5.1); Метод Бернулли (метод подстановки) Решение уравнения ищется в виде: y=uv(5.2), в виде произведения 2ух неизвестных дифференцируемых функций u=u(x) и v=v(x). Подставляя функцию 5.2 и её производную в уравнение 5.1 получим: u’v+u[v’+p(x)v]=q(x) (5.3);Подберём какую-нибудь функцию vчтобы выражение в квадратных скобках последнего равенства = 0: v’+p(x)v=0 (5.4) Разделяя в 5.4 переменные и интегрируя получим ln|V|=-∫p(x)dx+C₁; Т.к. нам нужно иметь 1у из функций vудовлетворяющих 5.4 то можно положить С₁=0 Тогда V=e^-∫p(x)dx; Подставим найденную функцию v(x) в 5.3. Приходим к дифференциальному уравнению u’e^-∫p(x)dx=q(x) (5.6); с разделяющимися пер6еменными относительно другой неизвестной функции u(x). Решением уравнения 5.6 является функция u=∫(q^x)(e^∫p(x)dx)dx+Cгде С – произвольная постоянная. Подставляя найденные функции uи vв равенство 5.2 получаем общее решение дифференциального уравнения 5.1 в след виде: y=(Ce^-∫p(x)dx)+(e^∫p(x)dx)∫q(x)(e^∫p(x)dx)dx(5.8). Уравнение 5.1 при q(x)≠0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, а при q(x)=0 линейным однородным диф-м ур-м 1ого порядка. Метод Лагранжа (метод вариации произвольное постоянной). Алгоритм: 1.для заданного неоднородного уравнения 5.1 выписывается соответствующее ему приведённое однородное уравнение вида y’+p(x)y=0т.е. правая часть f(x) уравнения 5.1 заменяется 0 а коэффициентp(x) при неизвестной функции y(x) сохраняется. 2.Методом разделения переменных находится общее решение однородного уравнения которое имеет вид y=Ce^-∫p(x)dx(5.10) 3.В 5.10 постоянную С заменяют на неизвестную функцию С(x) т.е. С=С(х). Т.о. решение исходного неоднородного уравнения 5.1 ищут в виде y=C(x)e^∫p(x)dx(5.11) при этом С(х) подлежит найти. 4.Функцию 5.11 дифференцируют а затем её и её производную подставляют в уравнение 5.1 5.После этих действий получится уравнение для нахождения С(х): С’(x)e^∫p(x)dx=q(x) 6.Из последнего дифференциального уравнения находится путём разделения переменных неизвестная функция С(х): С(х)=∫q(x)(e^∫p(x)dx)+C(5.12) 7.Функция 5.12 подставляется в равенство 5.11. Получится общее решение неоднородного уравнения 5.1 в виде 5.8. Метод Бернулли и Лагранжа приводят к одному и тому же результату 5.8.