31.Интегральный признак Маклорена -Коши.

Пусть заданная на промежутке функция непрерывна, неотрицательна и не возрастает. Пусть положительный числовой ряд имеет форму ,

т.е. члены ряда удовлетворяют условию .

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл (1) .

Доказательство. В силу монотонности функции на любом отрезке справедливы неравенства

.

Так как , – постоянные числа и , то, интегрируя эти неравенства по отрезку , из свойств неопределённого интеграла получим (2) .

Неравенства (2) позволяют обратиться к признаку сравнения для следующих рядов:

, (3)

, (4)

. (5)

Рассмотрим ряд

.

Его -й частичной суммой будет

.

Так как , то сходимость ряда (5) означает сходимость несобственного интеграла (1).

Если ряд (3) сходится, то по признаку сравнения рядов в силу первого неравенства из (2) будет сходиться ряд (5) и, следовательно, несобственный интеграл (1). Первая часть теоремы доказана, т.е. установлено необходимое условие сходимости.

Пусть сходится несобственный интеграл (1). В силу ранее отмеченного будет сходиться и ряд (5), общий член которого имеет вид . Тогда на основании признака сравнения рядов в силу второго из (2) неравенства будет сходиться ряд с меньшими членами, т.е. ряд (4). Поскольку ряд (3) отличается от ряда (4) только первым членом , то на основании замечания 4 будет сходиться и ряд (3), т.е. исходный ряд. Достаточное условие установлено. Теорема доказана.

32.Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов, расположенных в совершенно произвольном порядке, называется знакопеременным.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, к изучению которых сначала и приступим.

Знакочередующимся называется ряд, любые два соседних члена которого являются числами противоположных знаков.

Последнее определение означает, что любой знакочередующийся ряд может быть записан в одном из следующих видов:

,

,

где все .

Если сходится не только данный знакопеременный ряд , но и ряд из модулей членов исходного ряда, то ряд называется абсолютно сходящимся. Если же сам ряд сходится, а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

33.Теорема Коши об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.

Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Рассмотрим в отдельности положительные члены ряда (1) и абсолютные величины его отрицательных членов, при этом для них введём обозначения и . Перенумеруем и в том порядке, в котором они встречаются в ряде(1). Теперь составим два положительных ряда (3) , (4) .

Через и обозначим, соответственно, частичные суммы рядов (1) и (2). Через и обозначим те частичные суммы рядов (3) и (4), индексы которых удовлетворяют неравенствам , (при этом ). Тогда очевидны равенства (5) , (6) .

По условию теоремы ряд (2) сходится. Тогда существует конечный предел . Из (6) следует, что и . При этом положительные суммы и монотонно возрастают. Следовательно, существуют конечные пределы , , т.е. ряды (3) и (4) сходятся (отметим, что ).

Перейдём теперь к пределу в равенстве. Только что было установлено существование конечных пределов величин, стоящих справа. Следовательно, существует конечный предел . При этом . Теорема доказана.

Эта теорема даёт возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. В этих случаях вопрос о сходимости знакопеременного ряда сведётся к исследованию соответствующего положительного ряда.

Таким образом, признак Коши есть достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, но не необходимый. Это значит, что существуют такие знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из модулей их членов, расходятся.