6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Рассмотрим интеграл  , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах.

Пример . Вычислить  .

Решение. Преобразуем  , выделяя полный квадрат по формуле  . Тогда

  ;

7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.

 Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то   - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде:   

 

,где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как   является правильной дробью.

 Определение . Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

 1. ;

2. , где к -целое число, больше единицы

3. , где , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней

4.

Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :

8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.

Рациональной называется функция вида

где m,n-целые, положительные числа. Если m<n,то R(x) называется правильной дробью, если m n ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l<n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа:...(билет 7).

Теорема. Правильную рациональную дробь где можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

 - (6)

(A₁, A₂, …, A_k, B₁, B₂, …, B₁, M₁, N₁, M₂, M₂, …, M_s, N_s – некоторые действительные числа).

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби  по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Q_m(x)и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену P_n(x).

Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби  просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.