9.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
1.
Интегралы вида
,
где R-рациональная
функция,
-целые
числа преобразуются в интегралы от
рациональных функций с помощью подстановки
,где
к-общий
знаменатель
дробей
Пример.
.
2.
Интегралы вида
, где
-некоторые
числа
m-натуральное
число, преобразуются с помощью
подстановки
.
Пример.
.
3.
Интегралы вида
,
где
-некоторые
числа
:
1)
если трёхчлен
имеет вещественные корни
и
>0,
то
и
. Имеем предыдущий
случай.
2) если трёхчлен не имеет вещественных корней и >0, то
интеграл
преобразуется подстановкой Эйлера
.
3) если трёхчлен не имеет вещественных корней, <0 и с>0,
то
применяют другую подстановку Эйлера
.
4)
выделим полный квадрат:
.
С
помощью подстановки
интеграл сводится в зависимости
от коэффициентов к одному из следующих интегралов:
замена
замена
или
замена
или
Пример.
10.Интегрирование тригонометрических функций.
1.
Интегралы вида
,
где R-рациональная
функция, приводятся к интегралам от
рациональных функций с помощью так
называемой универсальной тригонометрической
подстановки
.
Пример
21.
.
2.
Интегралы вида
,
где m
и n-положительные
целые
чётные числа, вычисляются с помощью формул:
Пример
22.
.
Если n-нечётное положительное число, то применяется
подстановка sinx = t,
если m-нечётное положительное число, то применяется
подстановка cosx = t.
Пример
23.
.
В общем случае интегралы этого вида вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.
Пример
24.
Второй интеграл – табличный, первый вычислим
интегрированием по частям:
Итоговый результат:
3.
Интегралы вида
,
,
,
где
,
вычисляются с помощью формул:
Пример
25.
4.
Интегралы вида
,
,
где m
= 2,3,… вычисляются
с помощью формул
,
.
Пример
26.
